2019-2020年高中数学 3.1.1-2 变化率问题 导数的概念教案 新人教A版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 3.1.1-2 变化率问题 导数的概念教案 新人教A版选修1-1三维目标 1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数2过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点(教师用书独具)教学建议 学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在xx0处的导数反映了函数f(x)在xx0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升教学流程(对应学生用书第45页)课标解读1.理解函数在某点附近的平均变化率(重点)2会求函数在某点处的导数(难点)3了解平均变化率与瞬时变化率的关系(易混点)函数的变化率【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快1如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？【提示】可以运用平均变化率来刻画2实例(2)中，当t1t2时刻时，平均变化率有什么样的特点？【提示】平均变化率接近t1或t2时刻的速度1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率(1)定义式： .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(对应学生用书第45页)平均变化率的计算求函数f(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】(1)x、y分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.若x，则k12，k24，k36.由于k1k2k3，故在x3附近的平均变化率最大1解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量x与函数值的增量y.2求函数yf(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤(1)求自变量的增量：xx2x1.(2)求函数值的增量：yf(x2)f(x1)(3)作商求函数的平均变化率：.求函数ysin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小【解】函数ysin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为.21，.函数ysin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大求瞬时速度若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)s求(1)物体在t3,5内的平均速度(2)物体的初速度v0.【思路探究】(1)求物体在3,5内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v0的含义是什么？如何去求？【自主解答】(1)物体在t3,5内时，s3t22，且时间增量t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5上的平均速度为24(m/s)(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近的平均变化率为3t18，物体在t0处的瞬时变化率为li li (3t18)18，即物体的初速度为18 m/s.1解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t0时的瞬时速度(即瞬时变化率)2求瞬时速度应先求平均速度，再用公式vli ，求得瞬时速度3如果物体的运动方程是ss(t)，那么函数ss(t)，在tt0处的导数，就是物体在tt0时的瞬时速度一辆汽车按规律s2t23做直线运动，求这辆车在t2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)【解】设这辆车在t2附近的时间变化量为t，则位移的增量s2(2t)23(2223)8t2(t)2，82t，当x趋于0时，平均变化率趋于8.所以，这辆车在t2时的瞬时速度为8 m/s.求函数在某点处的导数求函数f(x)3x2axb在x1处的导数【思路探究】【自主解答】yf(1x)f(1)3(1x)2a(1x)b(3ab)3(x)2(6a)x.3x6a.li li (3x6a)6a.f(1)6a.1求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限2利用定义求函数yf(x)在点x0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致li 不存在(2)当对取极限时，一定要把变形到当x0时，分母是一个非零常数的形式已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值【解】yf(1x)f(1)a(1x)2c(ac)2ax(x)2，2ax.因此f(1) (2ax)2a.2a2，a1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(xx长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)3tt2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t0时的瞬时速度，t2时的瞬时速度和t0,2时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法【规范解答】(1)当t0时的速度为初速度在0时刻取一时间段0,0t，即0，t，ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2，2分3t，3分 (3t)3.4分物体的初速度为3.(2)取一时间段2,2t，ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，6分1t，7分 (1t)1，8分当t2时，物体的瞬时速度为1.(3)当t0,2时，t202.ss(2)s(0)(3222)(3002)210分1.在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错1平均变化率，当x趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快2函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1已知物体位移公式ss(t)，从t0到t0t这段时间内，下列说法错误的是()Ass(t0t)s(t0)叫做位移增量B.叫做这段时间内物体的平均速度C.不一定与t有关D. 叫做这段时间内物体的平均速度【解析】D错误，应为tt0时的瞬时速度【答案】D2已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43 D0.44【解析】x2，x0.1，yf(20.1)f(2)2.12220.41.【答案】B3设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b【解析】abx，f(x0) (abx)a.【答案】C4一物体运动的方程是s3t2，求物体在t2时的瞬时速度【解】s(2t)244t(t)2.4t.当t0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1已知函数yx21的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则等于()A2B2xC2x D2(x)2【解析】y(1x)21(121)2x(x)2.2x.【答案】C2自由落体运动的公式为ss(t)gt2(g10 m/s2)，若v，则下列说法正确的是()Av是在01 s这段时间内的速度Bv是1 s到(1t)s这段时间内的速度C5t10是物体在t1 s这一时刻的速度D5t10是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速度【解析】由平均速度的概念知：v5t10.故应选D.【答案】D3(xx惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.米/秒B.米/秒C8米/秒 D.米/秒【解析】t8， 8.【答案】B4函数f(x)x2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()Ak1k2 Bk1k2Ck1k2 D无法确定【解析】k12x0x，k22x0x，而x可正可负，故k1、k2大小关系不确定【答案】D5已知点P(x0，y0)是抛物线y3x26x1上一点，且f(x0)0，则点P的坐标为()A(1,10) B(1，2)C(1，2) D(1,10)【解析】y3(x0x)26(x0x)3x6x06x0x3(x)26x， (6x03x6)6x060.x01，y02.【答案】B二、填空题6(xx洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)t2, (s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t5时的瞬时速度为_【解析】v(5) (10t)10【答案】10米/秒7已知函数f(x)ax4，若f(1)2，则a_.【解析】f(1) 2，a2.【答案】28若函数f(x)在xa处的导数为m，那么 _.【解析】 m，则 m. mm2m.【答案】2m三、解答题9已知f(x)(x1)2，求f(x0)，f(0)【解】f(x0x1)2(x01)22x0x2x(x)2 ，2x02x，f(x0) (2x02x)2x02，把x00代入上式，得f(0)2022.10设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s3t22t1.(1)求从t2到t2t的平均速度，并求当t1，t0.1时的平均速度；(2)求当t2时的瞬时速度【解】(1)从t2到t2t内的平均速度为：143t.当t1时，平均速度为143117；当t0.1时，平均速度为1430.114.3.(2)t2时的瞬时速度为：v (143t)14.11(xx黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a5105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t11.6103 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度【解】s(t)at2，ss(t1t)s(t1)a(t1t)2atat1ta(t)2，at1at.枪弹射出枪口时的瞬时速度为v (at1at)at1.由题意a5105 m/s2，t11.6103s，vat151051.6103800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y在x1时的瞬时变化率【解】yf(1x)f(1)1，.x趋于0时，趋于.x1时的瞬时变化率为.求y在x1处的导数【解】由题意知y1，y|x1 .