2019-2020年高中数学平面向量的应用举例.doc

2019-2020年高中数学平面向量的应用举例【知识与技能】平面向量的应用举例,包括几何中的应用和物理中的应用两部分内容.本节的重点是向量法解决平面几何问题的“三步曲”,难点是如何将实际问题中的几何关系转化为向量关系.【过程与方法】教材通过两个例题介绍了向量方法在平面几何中的应用.例1中用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两邻边之间的关系.可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,只要按程序进行运算操作,即可思考问题的难度，通过例1的学习要明确用向量解决平面几何问题的“三步曲”.例2通过向量之间的关系判断线段之间的关系阐述了平面几何中的向量方法.应结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后再通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.2.5.2 向量在物理中的应用【知识与技能】本节的重点是掌握用向量解决实际问题的方法以及向量法解决几何问题的“三步曲”,难点是如何将实际问题转化为向量问题,培养学生把物理量之间的关系抽象成数学模型的能力.【过程与方法】教材通过两个例题介绍了向量方法在物理中的应用.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后再通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.例3是生活经常遇到的问题,首先将实际现象抽象为数学模型,得到模型后发现是一个简单的向量问题.例4的关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即分析中给出的船必须垂直于河岸行驶,这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸.【补充例题】1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，.=，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4 已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.例5 如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6 求证：三角形的三条高交于同一点 分析如图，已知中，由，要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件. 证明：在上，而 ，即 又，即 -得： ， 即从而， .5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7 求平面内两点间的距离公式 分析已知点求两点间的距离这时，我们就可以构造出向量，那么而，根据向量模的公式得，从而求得平面内两点间的距离公式为. 解：设点 ， ,而 点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8 证明: 分析：如图，单位圆上任取两点,以为始边，为终边的角分别为，设出两点的坐标，即得到的坐标，则为向量的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证. 证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9 证明柯西不等式 证明：令（1） 当或时，结论显然成立；（2） 当且时，令为的夹角，则 . 又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立）例10求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.