2019-2020年高考数学 第十二节 函数与方程教材.doc

2019-2020年高考数学 第十二节 函数与方程教材教 材 面 面 观1一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即_，则叫做这个函数的_答案f()0零点2方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的概念可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与_的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根_函数yf(x)有零点答案x轴函数yf(x)的图象与x轴有交点3如果函数yf(x)在一个区间a，b上的图象_，并且在它的两个端点处的函数值_，即_，则这个函数在这个区间上，_有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使_如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为_答案不间断异号f(a)f(b)0至少f(x0)0变号零点4二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二分法答案一分为二零点近似值考 点 串 串 讲1函数的零点(1)由方程的根与函数的零点的关系可知，求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的零点，也就是求函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标这样，就将方程f(x)0、函数yf(x)及函数yf(x)的图象三者有机地结合了起来，体现了“转化与化归”和“数形结合”的数学思想一般地，对于那些不能用公式法求根的方程f(x)0来说，可以将方程f(x)0与函数yf(x)联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根(2)为解决方程f(x)g(x)的有关解的个数或求参数的取值范围等问题，我们将方程的根与函数的零点的关系进一步推广为：方程f(x)g(x)有实数根函数yf(x)与yg(x)的图象有交点由此知，求方程f(x)g(x)的实数根就是确定函数yf(x)与yg(x)的图象交点的横坐标，而方程f(x)g(x)的实数根的个数可根据两函数图象的交点个数来判断(3)一次函数的零点：对于一次函数yaxb(a0)，不论a0还是a0，方程axb0都有唯一的实数根，相应地，一次函数yaxb的图象与x轴的交点的横坐标为，所以一次函数yaxb(a0)有且只有一个零点.2二次函数的零点与一元二次方程的根一元二次方程ax2bxc0(a0)的根也称二次函数yax2bxc(a0)的零点，设一元二次方程的判别式为b24ac.当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，从而二次函数有两个相异零点，二次函数图象与x轴“相交”；当0时，一元二次方程有两个相等的实数根，从而二次函数有两个相同零点(可称为二重零点)，二次函数图象与x轴“相切”；当0时，一元二次方程没有实数根，从而二次函数没有零点，二次函数图象与x轴没有公共点二次函数的零点：对于二次函数yax2bxc(a0)，其零点个数可根据一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式来确定，具体情形如下表：3.判定函数零点的存在如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，因此，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0.这个c也就是方程f(x)0的根注意(1)yf(x)必须在a，b上是连续的，否则结论不一定成立如f(x)，cf(1)f(1)0，但是f(x)在(1,1)没有零点(2)当f(a)f(b)0时，在(a，b)内至少有一个零点(也可能存在多个)(3)当yf(x)在(a，b)内有零点不一定使f(a)f(b)0，特别是当f(a)f(b)0时不能肯定在(a，b)无零点4二分法(1)二分法步骤第一步在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0.零点位于区间a0，b0中第二步取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0a0(b0a0)(a0b0)计算f(x0)和f(a0)，并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.第三步取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x1a1(b1a1)(a1b1)计算f(x1)和f(a1)，并判断：如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度(2)二分法的精确度问题精确度是方程近似解的一个重要指标，准确度由计算次数决定，若初始区间是a，b，那么经过n次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都满足精确度要求，都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即nlog2.(3)二分法求方程近似解的程序框图我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算其程序框图如图所示5函数零点个数的确定(1)一元n次方程最多有n个实根，一般常用分解因式来解决(2)一元二次方程通常用判别式来判断根的个数(3)指数函数和对数函数等超越函数的零点个数问题，我们一般用图象解决(4)利用函数的单调性来判断函数零点的个数，单调函数在单调区间至多有一个零点.典 例 对 对 碰题型一 函数的零点例1求函数yx22x3的零点解析借助零点的定义可知即求方程x22x30的实根x22x30，即(x1)(x3)0.解得x1或x3.零点为1、3.点评由上述定义及例题可知方程的根、图象与x轴的交点、函数的零点相互之间是紧密联系的，它体现了数学中一种很重要的数学思想即函数与方程的思想.变式迁移1若函数f(x)axb有一个零点是1，则函数g(x)bx2ax的零点是_答案0或1解析由题意，axb0(a0)的解为x1，ba，g(x)ax2axax(x1)，由g(x)0得x0或x1.题型二 函数零点个数例2二次函数yax2bxc(a0)中，ac0，则函数的零点个数是()A1B2C0 D无法确定解析解法一：因为cf(0)，所以acaf(0)0，即a与f(0)异号，即或所以函数必有两个零点解法二：可由二次方程的判别式得到b24ac.又因为ac0，所以0.此方程有两个不相等的实根答案B点评“实系数一元二次方程ax2bxc0有实数解”转化为b24ac0，你是否注意到必须a0；当a0时，“方程有解”不能转化为b24ac0.若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？因此，当二次项系数中含有字母时，一定要想到是否需要分类讨论！变式迁移2函数f(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3答案D解析由题可知，当x0时ylnx与y2x6的图象有1个交点，当x0时函数yx(x1)与x轴有2个交点，所以函数f(x)有3个零点故选D.题型三 区间内有零点问题例3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解析若a0，f(x)2x3，显然在1,1上没有零点，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a当a时，yf(x)恰有一个零点在1,1上；当f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5时，yf(x)在1,1上也恰有一个零点当yf(x)在1,1上有两个零点，则或解得a5或a综上所求实数a的取值范围是a1或a.变式迁移3若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是()A(1,1) B1，)C(1，) D(2，)答案C解析当a0时，函数的零点是x1；当a0时，若0，f(0)f(1)0，则a1；若0，即a，函数的零点是x2.故选C.题型四 数形结合求零点个数例4方程log2(x4)2x根的情况是()A仅有一根 B有两正根C有一正根和一负根 D有两负根解析数形结合，借助图象判断画出函数y1log2(x4)与y22x图象知，两函数图象有两个交点，如图所示，即方程log2(x4)2x有一正根和一负根答案C点评判断函数零点个数的方法：求出所有零点；二次函数问题用判别式；借助函数图象及单调性判断.变式迁移4方程2xx22x40的实根个数为()A3 B2C1 D0答案B解析问题转化为求函数y2x与yx22x4图象的交点个数，如图所示，显然为2个题型五 二分法求函数零点的近似值例5求函数f(x)x33x29x1的一个负零点(精确到0.01)分析本题考查利用二分法求函数的零点因为要求的是函数的负零点，因此应首先确定一个包含负数的恰当的区间作为计算的初始区间，再使用计算器，用二分法求出零点近似值解析列表如下：端点(中点)坐标端点(中点) 的函数值取值区间f(1)0，f(2)0(2，1)x01.5f(x0) 4.3750(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.9375f(x3)0.0970(1.9375，1.875)x41.90625f(x4)0.3280(1.9375，1.90625)x51.921875f(x5)0.1170(1.9375，1.921875)x61.9296875f(x6)0.0110(1.9375，1.9296875)由上表可知，区间(1.9375，1.9296875)的长度为0.00781250.01，所以这个区间的中点x71.93就是函数的一个负零点近似值点评用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.变式迁移5如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且VS1，那么这个正方体的棱长(精确到0.01)约为_答案6.05解析设正方体的棱长为x，则Vx3，S6x2.VS1，x36x21.设f(x)x36x21，应用二分法得方程的根为6.05.【教师备课资源】题型六 零点所在区间例6利用函数的图象，指出函数f(x)2xln(x2)3零点所在的大致区间解析首先通过对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表).x2.533.544.55f(x)6.465730.16112.54525.24667.9861由上表和图可知，该函数零点的大致区间为3.5,4点评函数思想与方程思想是密切相关的对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.变式迁移6设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析函数f (x)，x(3，)时，yf(x)单调递增；x(0,3)时，yf(x)单调递减而01e3，又f()10，f(1)0，f(e)10，在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点，故选D.题型七 单调函数的零点个数例7已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点证明假设f(x)0至少有两个不同的实根x1、x2，且不妨设x1x2，由题意得f(x1)0，f(x2)0，f(x1)f(x2)f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由x1x2则f(x1)f(x2)因此、相矛盾，假设不成立，故f(x)0至多有一个零点.变式迁移7已知函数f(x)()xlog2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A恒为正值 B等于0C恒为负值 D不大于0答案A解析根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f(x)()xlog2x在(0，)上单调递减，函数f(x)在(0，)上至多有一个零点若有零点的话，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负对于0x1x0，f(x1)的值恒为正值.题型八 二分法的运算例8用二分法求方程x22的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_解析设至少需要计算n次，则n满足0.001，即2n100，由于27128，故要达到精确度要求至少需要计算7次答案7变式迁移8用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)f(0.25)B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75)D(0,0.5)f(0.125)答案A解析函数f(x)x33x1连续，且f(0)f(0.5)0，则在(0,0.5)上有一个零点，第二次应计算f()f(0.25)，故选A.题型九 方程根的综合问题例9已知关于x的一元二次方程(x1)(3x)ax(aR)，试讨论方程实数根的个数分析原方程可化为(x1)(3x)xa，利用直线ya与抛物线y(x1)(3x)x的位置关系讨论，也可以利用判别式解析解法一原方程化为x25x3a.令f(x)x25x3，g(x)a.作函数f(x)x25x3的图象，求抛物线的开口方向及顶点的纵坐标为，如图所示由图象可以看出：当a时，方程没有实根当a时，方程有两个相等的实数根当a时，方程有两个不相等的实数根解法二原方程化为x25x3a0.254(3a)4a13.当0，即a时，方程没有实数根当0，即a时，方程有两个相等的实数根当0，即a时，方程有两个不相等的实数根点评解法一体现了函数与方程的相互转化，体现了数形结合的思想，对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径.变式迁移9已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，因考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程式f(x)0()A当x1时，恰有一实根B当1x0时，恰有一实根C当0x1时，恰有一实根D当x1时，恰有一实根答案A解析f(2)2(3)(1)0.015.990，f(1)0.010，即f(2)f(1)0，在(2，1)内有一个实根，即方程在(，1)上，恰有一个实根，故A正确又f(0)0.010，f(x)0在(1,0)上没有实数根，B不正确又f(0.5)0.5(0.5)1.50.010.3650，f(1)0.010，即f(0.5)f(1)0，所以f(x)0在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)f(0.5)0，f(x)0在(0,0.5)上也有一个实根f(x)0在(0,1)上有两个实根，故C不正确由f(1)0知，f(x)0在(1，)上没有实根D不正确.方 法 路 路 通1寻找函数零点所在的一个区间是一个难点，利用计算器寻找零点时首先确定函数的定义域，其次在其定义域内取一些值，画出草图观察，根据函数的特点确定零点的区间，利用信息技术寻找零点时，画出函数的草图可找到零点所在的区间，如果所给函数是由两个初等函数的差构成的，即f(x)g(x)h(x)，则在其对应方程g(x)h(x)中画出yg(x)及gh(x)的图象，其交点即为函数f(x)的零点2若x0是函数yf(x)的零点，且mx0n，那么f(m)f(n)0不一定成立，反之若f(m)f(n)0，在(m，n)内至少存在一个零点3对于函数的零点需注意：(1)函数的零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程f(x)0没有实数根，则函数yf(x)没有零点，函数yf(x)的图象与x轴没有公共点(2)函数的零点并不是“点”而是一个数量方程的实数解4用二分法求方程的近似解时应注意(1)要看清题目要求的准确度，它决定着二分法步骤的结束(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大5当区间(an，bn)的长度|anbn|时，数值an和bn均可作为所求方程解的近似值，这个近似值也可是区间(an，bn)内的任一数值6二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值(即方程近似解)的“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好地运用，希望同学们在学习中要多加体会7注意一些说法：“函数的零点，方程的根”，而不要说成“方程的零点，函数的根”.正 误 题 题 辨例若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)错解由题意知方程x33xa0有3个根，a的取值范围为(1，)，故选D.点击本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联系起来求解，不能从极值的角度分析函数的图象，从而找不到解题的突破口正解函数f(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可f (x)3x23，令3x230，则x1，故极值为f(1)和f(1)，f(1)a2，f(1)a2，所以应有(a2)(a2)0，故a(2,2)，故选A.答案A知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难1(xx日照测试)在以下区间中，存在函数f(x)x33x3的零点的是()A1,0 B1,2C0,1 D2,3答案C解析注意到，f(1)70.f(0)30，f(1)10，f(2)110，f(3)330，结合各选项知，选C.2(xx天津卷)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案B解析由题意可知f(2)60，f(1)30，f(0)10，f(1)0，f(2)0，f(1)f(0)0，因此在区间(1,0)上一定有零点因此选B.3(xx福建卷)函数f(x)，的零点个数为()A3 B2C1 D0答案B解析解法一令f(x)0得或，x3或xe2，应选B.解法二画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点4在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_答案(，2)(或写成闭区间)解析区间(1,2)的中点x0，令f(x)x32x1，f()40，f(2)8410，则根所在区间为(，2)5若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，求函数g(x)bx2ax1的零点解析f(x)x2axb的两个零点是2和3，a5，b6.g(x)6x25x1(2x1)(3x1)，g(x)的零点是和.