2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2(1+2)1+22+12+12+2=11+2.2.(xx重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+B.+C.+2D.+2【解析】选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,三棱锥的体积为V1=121=,半个圆柱的体积为V2=122=,所以几何体的体积为+.3.(xx郑州模拟)已知体积为的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则此三棱柱的高为()A.B.C.1D.【解析】选C.由三视图可知正三棱柱的底面边长为2,设正三棱柱的高为h,正三棱柱的体积为2h=,解得h=1.4.(xx邯郸模拟)某几何体的三视图如图所示,若其正视图为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何体的表面积为()A.2+2B.6C.4+2D.8【解析】选B.根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行底面,且EF=1.过点E作EMAB,垂足为M,则AM=,所以EM=1,DE=AE=.所以S梯形ABFE=(1+2)1=S梯形CDEF,SADE=SBCF=1=11=,S矩形ABCD=21=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2+2=6.【加固训练】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是()A.18B.36C.45D.54【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=266+362=54.5.(xx浏阳模拟)一几何体的三视图如图所示,若正视图和侧视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为()A.4B.3C.2D.【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为,所以外接球的表面积为S=4=3.【加固训练】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()A.B.C.3D.12【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又ABBC,所以AC2=AB2+BC2,故SC=,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4=3.6.(xx泉州模拟)一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题干图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为411=2,由三视图知其中一条侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形.由于此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为=3,所以此棱锥的体积为23=2.【加固训练】(xx开封模拟)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4,3,4的三棱锥的多面体,所以其体积为V=636-434=100(cm3).7.(xx成都模拟)某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是()A.B.6C.4D.【解析】选A.由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体,挖去一个以该正方体的中心为顶点,以该正方体的上底面为底面的四棱锥后得到的几何体,所以该几何体的体积V=23-221=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为432+312+412=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为211=2,圆柱的两个底面面积和为212=2.故该几何体的表面积为38+2-2=38.答案:389.(xx四川高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.【解析】由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱,则又SPMN=MNNP=1=,点A到平面PMN的距离h=,所以=VA-PMN=SPMNh=.答案:10.(xx浏阳模拟)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,则其正视图的面积为,三棱锥D-BCE的体积为.【解析】由题意可知,正视图为直角三角形,直角边长为2,4,故正视图的面积为24=4;四棱锥B-ACDE中,AE平面ABC,所以AEAB,又ABAC,且AE和AC相交,所以AB平面ACDE,又AC=AB=AE=2,CD=4,由四棱锥B-ACDE的体积V=2=4,又三棱锥E-ACB的体积为222=,所以三棱锥D-BCE的体积为4-=.答案:4(20分钟40分)1.(5分)(xx武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.3C.D.6【解析】选B.由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,所以V=124=3.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选B.由三视图可知,此几何体是底面半径为1,高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的,直观图如图(1)所示,我们可用大小与形状完全相同的几何体补成一个半径为1,高为6的圆柱,如图(2)所示,则所求几何体的体积为V=126=3.2.(5分)(xx安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.18【解析】选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为的正三角形,其表面积的和为,故所求几何体的表面积为24-3+=21+.3.(5分)(xx肇庆模拟)有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为3,已知球的半径R=2,则此圆锥的体积为.【解析】由r2=3得圆锥的底面半径为r=,如图,设OO1=x,则x=1,圆锥的高h=R+x=3或h=R-x=1.所以,圆锥的体积为V=Sh=33=3或V=Sh=31=.答案:3或【加固训练】(xx佛山模拟)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为()A.B.8C.D.【解题提示】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.【解析】选C.根据题意知,ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1.小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积取最大值,由于底面积SABC不变,高最大时体积最大,所以,DQ与平面ABC垂直时体积最大,最大值为SABCDQ=,所以DQ=4,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4-R)2,所以R=,则这个球的表面积为S=4=.4.(12分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积.(2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.【解析】(1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=(2a)(a)=a2,S圆柱侧=(2a)(2a)=4a2,S圆柱底=a2,所以S表面=a2+4a2+a2=(+5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ=a,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.5.(13分)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.【解析】如图所示,在三棱台ABC-ABC中,O,O分别为上、下底面的中心,D,D分别是BC,BC的中点,且DD是等腰梯形BCCB的高,又因为BC=20cm,BC=30cm,所以S侧=3(20+30)DD=75DD.S上+S下=(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=325,所以DD=cm,又因为OD=20=(cm),OD=30=5(cm),所以棱台的高h=OO=4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=1900(cm3).即棱台的体积为1900cm3.