2019-2020年高中数学向量的数乘运算及其几何意义.doc

2019-2020年高中数学向量的数乘运算及其几何意义【知识与技能】1.掌握向量数乘的运算并理解其几何意义，掌握实数与向量的积的运算律；2.理解两个向量共线的等价条件，会根据条件判断两个向量是否共线；3数和向量的乘积，从形式上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理.【过程与方法】数的运算乘法可转化成有几个数相加，向量同样可以有3a=a+a+a，-3a= -a+（- a）+（- a），从而引入了数乘.通过实例观察数乘的结果，分析这个结果和原来向量的关系: 长度和方向都改变了,最后从感性材料中得到：（1）实数和向量的乘积还是一个向量，（2）此向量和原向量是平行关系，（3）方向取决于所乘实数的符号.一教学目标1理解并掌握实数与向量的积的意义2理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.二教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；三教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；四教学过程设置情境我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt这些公式都是实数与向量间的关系问：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？答：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一）探索研究问：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考答：我想这样规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量想法很好不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行实数与向量的积的定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）答：，设、为任意向量，为任意实数，则有：（1）（2）（3）通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律例题讲解：【例1】计算：（1）， （2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式下面我们研究共线向量与实乘向量的关系问：请同学们观察，有什么关系答：因为，所以、是共线向量问：若、是共线向量，能否得出？为什么，可得出吗？为什么？答：可以！因为、共线，它们的方向相同或相反由此可得向量共线的充要条件向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得（此即教材中的定理）对此定理的证明，是两层来说明的其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知与共线，即与共线其二，若与共线，且不妨令，设（这是实数概念）接下来看、方向如何：、同向，则，若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使【例2】如图：已知，试判断与是否共线解： 与共线练习（投影仪）1.设、是两个不共线向量，已，若、三点共线，求的值解：、三点共线、共线存在实数，使即，2.若为的对角线交点，则等于（ B ）A B C D4总结提炼（1）与的积还是向量，a与是共线的（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项五板书设计教学目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。教学过程：一、复习：1实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） 3向量共线的充要条件【例题】例1 若32，3，其中，是已知向量，求，.分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、.解：记32 ,3, 3得393得113. 将代入有：3评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2 凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证(+).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点. BAE F GD CEF是ADG的中位线，EF =， .而，（）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB，EC，则有， BA F GED C，又E是AD之中点，有0,即有；以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.（）（）例3. 错例分析判断向量2e与2e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：2e，2e，与共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e0，而当e0时，显然0，0，此时，不符合定理中的条件，且使成立的值也不惟一(如1，1，2等均可使成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e0时，则2e0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时与共线.(2) 当e0时，则2e0，2e0(这时满足定理中的0，及有且只有一个实数（1），使得成立),与共线.综合(1)、(2)可知，与共线.题目答疑习题(课本P)参考答案1.略; 2. =，=; 3. (1)b=2a, (2) b=a (3) b=a (4) b=a4. (1)共线,（2）共线; 5. (1)3a -2b (2) -a +b (3) 2ya