2019-2020年高中数学第二册(上)不等式的证明.doc

2019-2020年高中数学第二册(上)不等式的证明教学目的：不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重点：比较法的应用教学难点：常见解题技巧教学过程：一、复习引入：1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在ab，a= b，ab三种关系中有且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了2. 若a0,b0, 则二、讲解新课：1比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论2比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论三、讲解范例：例1 求证：x2 + 3 3x例2已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2例3 a ,b R+，求证：例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m n，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？思考：若m = n，结果会怎样？例5 证明函数上是增函数.四、作业：习题6.3 1， 2， 3. 补充：1. 已知非零且不相等的实数a 、b，求证（a4+b4）(a2+b2)(a3+b3)2. 2.已知a1,求证 3.已知abc0,求证：不等式的证明（2）教学目的：1.掌握综合法证明不等式；2.熟练掌握已学的重要不等式；3.增强学生的逻辑推理能力.教学重点：综合法教学难点：不等式性质的综合运用教学过程：一、复习引入：重要不等式：（1）如果（2）如果a,b都是正数，那么 当且当a=b时等号成立. （3）如果ab0，那么. 当且当a=b时等号成立.（4）如果，那么（当且仅当a=b=c时取“=”）（5）如果，那么 （当且仅当a=b=c时取“=”）二、讲解新课：1综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。三、讲解范例：例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：例2 已知a，bR，证明：log2（2a2b）.例3 若a，b，cR，且abc1，求证：.例4 设a, b, c R，求证：例5 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：提示：先用比较法，左右=2（ab+bcac）再用综合法证明.四、作业：习题6.3 6 补充：1.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证：（1-a）(1-b)(1-c) 8abc; 2.已知a1,a2,b1,b2均为正数，求证 3.已知(a+b)(x+y)2(ay+bx),求证： 4. 5. 若a + b = 1, 求证：； 6.若a , b, cR+, 求证： 不等式的证明（3）教学目的：1 掌握分析法证明不等式；2理解分析法实质执果索因；3提高证明不等式证法灵活性.教学重点：分析法教学难点：分析法实质的理解教学过程：一、复习引入： 1重要不等式.2比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论3综合法证不等式：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。二、讲解新课：1.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。2用分析法证明不等式的逻辑关系是：3分析法的思维特点是：执果索因。4分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故命题B必为真。三、例题：例1 求证例2 证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.例3 已知a,b,c是正数，求证例4 若a,b,c是不全等的正数，求证例5 若a,b,cR+,求证：四、作业： 1.选择题(1)若logab为整数,且logalogalogba2,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）。a2 logab+logba=0 0ab2且|x2|2 B.|x1+x2|4 C.|x1+x2|0,y0,且a成立,则a的最小值是（ ）A.B.C.2D.2 (5)已知a,bR+,则下列各式中成立的是（ ）A.cos2lga+sin2lgblg(a+b)C.acos2bsin2=a+b D.acos2bsin2a+b (6)设a,bR+,且ab-a-b1,则有（ ）A.a+b2(+1) B.a+b+1 C.a+b(+1)2 D.a+b2(+1)2. 已知a,b,c,dR,求证:ac+bd3.若a,b0,2ca+b,求证:c-a 0 , y 0，2x + y = 1，求证：分析1：“乘1”，用综合法证明.分析2：用换元法. 由x 0 , y 0，2x + y = 1，可设例3 若，求证：提示：设， 例4 若x 1，y 1，求证： 提示：设例5已知：a 1, b 0 , a - b = 1，求证：提示：a 1, b 0 , a - b = 1 不妨设小结：若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，则可令x = cosq , y = sinq ()。若，则可令x = secq, y = tanq ()。若x1，则可令x = secq ()。若xR，则可令x = tanq ()。例6证明：若a 0，则提示：设三、作业1 若，求证：2 若|a| 1，|b| 2 时，求证：例3 求证：提示：用放缩法，例4 设0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 提示：用反证法. 四、课后作业：证明下列不等式：1设x 0, y 0, ，求证：a b2lg9lg11 b c, 则456设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2不等式的证明（6）教学目的：要求学生逐步掌握利用函数与方程等数学思想法证明不等式。教学重点：利用函数与方程思想法证明不等式。 教学难点：巧妙地构造函数或构造方程. 教学过程：一、引入：函数与方程等数学思想是重要的数学思想，函数、方程、不等式有密切的联系；通过构造函数或构造方程，利用函数的单调性等性质或简单的方程论可以有效地解决一些不等式的证明问题.二、讲解范例：例1已知x 0，求证： 提示：构造函数 ，判断f (x)在上单调性，问题便可得证. 例2 提示：对于任意实数x，总有 （aix-bi）20 (i=1,2,，n),即 ai2x2-2aibix+bi20 当i=1,2,，n 时，将上面n个不等式相加，有由于0,且上面不等式是绝对不等式，因而判别式0，不等式得证.说明：该不等式为著名的柯西不等式.例3 已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。提示：由题设显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a 0，则 ，于是可以构造以a,b为两实数根的一元二次方程.例4 求证： 提示：设 ，则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0 .分当 y = 1时，和当 y 1时，关于tg的方程有实数根的条件命题即可获证.三、课后作业：证明下列不等式：12已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 0, y 0, x + y = 1，则4若，且a2 a - b，则5.求证： .不等式的证明（7）教学内容：不等式证明综合练习教学目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想方法。重点难点：培养发散思维，一题多解的能力.教学过程：一、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、 例题：例一、已知0 x 1, 0 a 1，试比较的大小。解一： 0 1 - x2 1, 解二： 0 1 - x2 1, 解三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0且a 1，其余条件不变。例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xyac + bd证一：（分析法）a, b, c, d, x, y都是正数 要证：xyac + bd 只需证：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，显然成立 xyac + bd证二：（综合法）xy = 证三：（综合法）根据柯西不等式， 证四：（三角代换法） x2 = a2 + b2，不妨设a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例三、已知x1, x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即： 再平方： 化简整理得： （显然成立） 原式成立证二：（等价转化）由于x1,x2均为正数，原不等式等价于： 根据柯西不等式，原不等式成立.证三：（反证法）假设 化简可得： （不可能） 原式成立三、 作业：1已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn cn (n3, nR*)2.已知实数a,b,c,d满足a2+b2=1,c2+d2=1,求证：|ac+bd|1.3.4设0 a, b, c 0,b0,a+b=1.求证：