2019年高中数学 2.3.1 等比数列的概念教案 苏教版必修5.doc

2019年高中数学 2.3.1 等比数列的概念教案 苏教版必修5三维目标1.知识与技能(1)通过实例理解等比数列的概念，能判断一个数列是不是等比数列； (2)深刻理解等比中项概念，了解等比数列的子数列性质，提高学生的数学素质，增强学生的应用意识2.过程与方法(1)对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察、推导，经历发现几个具体数列的等比关系，归纳抽象出等比数列的定义；(2)类比等差中项概念，理解等比中项的概念，并能运用等比中项解决有关问题； (3)由学生通过丰富实例抽象出等比数列模型，归纳出等比数列，用相关知识解决一些简单的问题3情感、态度与价值观(1)培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力；(2)充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，从而提高学习的兴趣重点、难点重点：等比数列的定义的理解与应用难点：分析具体问题的情境，建立等比数列模型，并且运用等比数列定义解决有关问题对于等比数列的教学，可以通过与等差数列“类比”的方法进行探究，抓住知识与方法的相似性，突出定义与性质的不同点，培养学生的类比推理能力建构等比数列的概念首先也要让学生经历大量的实例观察，分析数列的项与项之间可能的关系，然后概括发现“等比”关系，进而探究揭示等比数列的定义及其递推公式建立等比数列模型的关键是分析具体问题的情境，发现数列的项与项之间的“等比”关系(教师用书独具)教学建议 1与等差数列类似，等比数列概念的引入也是通过从日常生活的实例中抽象出等比数列的模型，从而突出了数列作为反映自然规律的基本数学模型的作用本节三个实例：元素半衰期问题、汽车折旧问题、投资复利问题，既让学生感受到等比数列也是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数学模型(即三个数列)的过程2紧跟在实例之后提出的问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？是为了给学生一定的思考和探索的空间，让学生自己通过观察、归纳、猜想等认识到等比数列的特性这时一方面可以引导学生类比等差数列相邻两项间的关系，一方面可以结合对三个数列的具体探索，让学生通过“类比”和“归纳”发现三个数列的共同特征：都是首项逐次乘以一个常数得到的数列随后可以让学生类比等差数列和等差中项的定义，自己给出等比数列和等比中项的定义3为了强化学生对本部分知识的掌握，设置“等比数列的概念”，等比数列的证明及“等比数列元素的设法”三个方面的例题通过这些例题的教学，可以使学生更深刻地领会本节知识教学流程(对应学生用书第28页)课标解读1.理解等比数列及等比中项的概念(重点)2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(难点)等比数列的定义【问题导思】考察下面几个数列(1)1，1,1，1，.(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，263.(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 0001.05,10 0001.052，10 0001.055.以上数列有何共同特征？【提示】每个数列从第二项起，每一项与其前一项的比值都等于同一个常数如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示(q0).等比中项【问题导思】若在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G与a，b有何关系？【提示】由等比数列的定义可得，所以G2ab.若a、G、b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2ab.等比数列的子数列性质【问题导思】1把等比数列a1，a2，a3，a4，a5各项倒序书写所得新数列是否为等比数列？【提示】仍为等比数列设原等比数列公比q，则q，.新数列a5，a4，a3，a2，a1仍为等比数列且公比为.2若数列an是等比数列，数列can是否为等比数列？【提示】由an是等比数列，所以q，所以q，所以can也是等比数列1若数列an为等比数列，则an，an1，a2，a1也为等比数列，公比为 .2若数列an为等比数列，则数列can也为等比数列，公比为q.3若数列an为等比数列，则am，amk，am2k，也为等比数列，公比为qk.(对应学生用书第29页)等比数列的概念判断下列数列是否为等比数列(1)1,3,32,33，3n1，；(2)1,1,2,4,8，；(3)a1，a2，a3，an，.【思路探究】根据等比数列的定义判断【自主解答】(1)记数列为an，a11，a23，an3n1，3(n2，nN*)，数列为公比q3的等比数列(2)记数列为an，且a11，a21，a32，.12，该数列不是等比数列(3)当a0时，数列为0,0,0，是常数列，不是等比数列；当a0时，数列为a1，a2，a3，a4，an，显然此数列为等比数列且公比为a.1注意等比数列的各项均不能为0，如本例(3)中，各项含有字母时，要注意对字母取值分类讨论，不能认为qa就一定为等比数列2判定一个数列是否为等比数列，关键是验证q(常数)是否成立判断下列数列是否为等比数列(1)1，1,1，1，；(2)1,2,4,6,8，；(3)a，ab，ab2，ab3，.【解】(1)是首项为1，公比为1的等比数列(2)，不是等比数列(3)当ab0时，是等比数列，公比为b，首项为a；当ab0时，不是等比数列.等比数列的证明已知数列an的前n项和Sn2n12，求证an是等比数列【思路探究】由Sn2n12求an证明为常数【自主解答】由Sn2n12，得a1S12222，当n2时，anSnSn12n122n22n，当n1时，a12也符合an2n，an2n(nN*)，2，an是以2为首项，2为公比的等比数列1本题已知Sn求an，要利用：求解2已知通项an证明数列为等比数列的步骤：(1)验证首项a10；(2)证明q(q0，q为常数)已知数列an满足a11，an12an1，求证an1是等比数列【证明】an12an1，an112(an1)由a11知，a110，可得an10，2(nN*)数列an1是等比数列.灵活设元求解等比数列问题三个互不相等的数成等比数列，如果适当排列这三个数，又可成为等差数列，且这三个数的积为8，求这三个数【思路探究】三数成等比设为，a，aq分类讨论解方程求得数【自主解答】设这三个数分别为，a，aq，其中a0，q0且q1，则有aaq8，a2.则这三个数分别为，2,2q.若为等差中项，则222q，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，三个数分别为1,2，4.若2为等差中项，则有222q，即q22q10，解得q1q21(舍去)若2q为等差中项，则有22q2，即2q2q10，解得q或q1(舍去)三个数分别为4,2，1.由知，这三个数分别为1,2，4或4,2，1.1此题用到“分类讨论”的数学方法，使用“分类讨论”方法解题时，必须做到以下两点：(1)明确分类标准(如概念、性质、运算等)；(2)分类做到不重不漏2三个数成等比数列时一般设为：，a，aq，这样对称设置利于计算但四个数成等比数列时不能设为，aq，aq3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数【解】法一设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二设这四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当q2，a8时，所求四个数为0,4,8,16；当q，a3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三设这四个数依次为x，y,12y,16x，由已知得解得或故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(对应学生用书第30页)忽视等比中项的符号特点致错在等比数列an中，amnA，amnB(AB0，mn，m，nN*)，求am的值【错解】设公比为q，则amna1qmn1A，amna1qmn1B，得aq2(m1)AB，(a1qm1)2AB，即aAB，am.【错因分析】一方面am是amn与amn的等比中项，另一方面am的符号取决于am在数列中的位置，错解中没有对am的符号进行准确的判断【防范措施】注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同从而，对于数a，b的等比中项G，G2ab一定成立，但G的符号不一定正负都可取，如等比数列an中，三项分别为a1，a4，a7，则a4是a1与a7的等比中项，此时a4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a2，a4，a6，也有a4是a2与a6的等比中项，此时a4只能与a2和a6同号【正解】同错解，得aAB.当n为奇数时，mn与m的奇偶性相反，am.当n为偶数时，mn与m的奇偶性相同，即am与amn同号，故amam1基础知识：(1)等比数列的定义；(2)等比中项；(3)等比数列子数列的性质2基本技能：(1)等比数列的定义的应用；(2)等比数列的证明(或判断)方法；(3)几个数成等比数列时的设法3思想方法：(1)方程思想；(2)分类讨论思想(对应学生用书第31页)1下面有四个结论：由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；常数列b，b，b，b一定为等比数列；等比数列an中，若公比q1，则此数列各项相等；等比数列中，各项与公比都不为零其中正确结论的序号是_【解析】由等比数列的定义知，等比数列的各项均不为0且公比q0，若a10，不是等比数列；若b0，不是等比数列；是正确的【答案】2若2是b1，b1的等比中项，则b_.【解析】(b1)(b1)(2)2，b218，b29，b3.【答案】33如果将20,50,100各加上同一个常数组成一个等比数列，则这个数列的公比为_【解析】设所加的同一个数为x，则由题意知：(50x)2(20x)(100x)，解得：x25，公比q.【答案】4已知数列an的通项公式为an()n(nN*)求证an是等比数列【证明】an()n，an1()n1，是常数an是等比数列，首项为a1，公比为.(对应学生用书第88页)一、填空题1等比数列an中，a14，a28，则公比q_.【解析】q2.【答案】22若1，x，4成等比数列，则x的值为_【解析】x2(1)(4)4，x2或x2.【答案】2或23(xx苏州检测)在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a636，则a3a5_.【解析】由等比中项知：a2a4a，a4a6a，a2a3a5a36，(a3a5)236.又等比数列an中，a10，a30，a50，a3a50，a3a56.【答案】64等比数列x,2x2,3x3，的第四项为_【解析】由已知(2x2)2x(3x3)，x25x40，x4或x1(舍去)前3项分别为：4，6，9，公比q，第四项为.【答案】5(xx无锡检测)等差数列an中，a3a118，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8的值为_【解析】等差数列an中，a74，b7a74.由等比中项，b6b8b16.【答案】166(xx德州高二检测)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小角的正弦值为_【解析】设直角三角形最小内角为，则三内角由小到大为：，90，90.由已知sin ，sin(90)，sin 90成等比数列，sin2(90)sin sin 90，即cos2sin ，sin2sin 10，sin 或sin (舍去)【答案】7数列an满足a11，an12an1，若数列anc恰为等比数列，则c的值为_【解析】an12an1，an112(an1)，数列an1是以首项为a112，公比为2的等比数列，c1.【答案】18若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a等于_【解析】由已知将代入得b2，即a22a80，解得a2或a4.当a2时，c2，即abc与已知不符，a4.【答案】4二、解答题9已知数列an的前n项和Sn2an1，试证明an是等比数列【解】Sn2an1，Sn12an11.Sn1Snan1(2an11)(2an1)2an12an，an12an.又S1a12a11，a110.由式可知an0，2，数列an是首项为1，公比为2的等比数列10若a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断ABC的形状【解】角A、B、C成等差数列，AC2B，又ABC中，ABC，B.又边a，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理cos Bcos，a2c2acac，(ac)20，ac，ABC为等边三角形11已知f(x)是一次函数，且f(0)2，若f(2)f(7)，f(22)成等比数列(公比q1)，求f(1)f(3)的值【解】令f(x)axb，f(0)2，b2，即f(x)ax2.f(2)，f(7)，f(22)成等比数列，f(7)2f(2)f(22)，即(7a2)2(2a2)(22a2)，即a24a0，a0(舍去)或a4，f(x)4x2，f(1)f(3)4243220.(教师用书独具)设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，求证：数列cn不是等比数列【思路探究】要证cn不是等比数列，只要证cc1c3即可【证明】设an，bn的公比分别为p，q，且pq，又cnanbn.要想证cn不是等比数列，只需证cc1c3，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1(p2q2)由于pq，p2q22pq，又a1，b1不为0，cc1c3.故cn不是等比数列利用等比中项证明数列是等比数列是除定义法之外，最常用的方法其本质就是证明数列中除首末两项之外其余各项都是它前一项与后一项的等比中项已知a，b，c，d成等比数列，ab，bc，cd均不为零，求证：ab，bc，cd成等比数列【证明】由已知得，b2ac，c2bd，即bcad.(bc)2b2c22bcacbdbcbcacbdbcad(acbc)(bdad)(ab)(cd)，而ab，bc，cd均不为零，ab，bc，cd成等比数列拓展历史上的等比数列在古代，随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识在世界数学史上，对级数(数列)的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子算经、张邱建算经等，对等比级数aaqaq2aqn都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献古老的易经一书中写道：“是故易有太极，是一生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想；九章算术记载有这样的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这是一个等比级数问题，即已知公比为2，项数为5，S5为5，求首项a1.在国外，约公元前xx年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为：5,10,20,40；20,36,52，可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒，问人、猫、鼠、麦穗、麦粒的总数是多少？这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为19 607，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的公元前4世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展在研究音乐理论中得到了调和平均数，他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是3：2，则发出另一谐音，等等它与后来发现的调和级数相联系约公元前300年，欧几里得(Euclid，约前330前275)的名著几何原本(共13篇)第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.