2019-2020年高中数学 2．4 平面向量的数量积教案6 新人教版必修4.doc

2019-2020年高中数学 24 平面向量的数量积教案6 新人教版必修4教学目标： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学流程：概念引入概念获得简单运用算律探究理解掌握反思提高教学过程：一、复习引入问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并规定：0与任何向量的数量积为0.问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.（ “投影”的概念）：作图 2定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.BAC3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.例题1：探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ,何时为负？当0 90时ab为正；当 =90时ab为零。90 180时ab为负探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量.（1）ab ab = 0（2）当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式变形：cosq =探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a，b，c 和实数，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a （b） （3）（a +b） c = a c+ b c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2）例2 已知|a|=6， |b|=4，ab =12，求（1）与的夹角；（2）|a+b|；（3） (a+2b)(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4（适时补充） 判断正误：00；0；0；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则.上述8个命题中只有正确；评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知a、b是非零向量，若|a|=|b|则(a+b)与(a-b) 。4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab= .6.已知ab，c与a、b的夹角均为60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_.7.已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.8.设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.四、知识小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业 P108 习题2.4 A组 1,2,3,6,7教学后记：数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的。本节课教学设计按照“问题讨论解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程。始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”。1教学评价本节课通过问题12、探究13评价学生基础知识、基本技能掌握情况以及灵活运用所学知识的综合能力，同时测评出教学效果；在学生探究的过程中，通过师生、生生交流及时了解学生的学习状况，吸收教学的反馈信息，激励学生努力学习；对表现不好的同学给予鼓励并进行跟踪，鼓励学生勇于发表自己的见解，并大胆去尝试，实施赏识教育；让学生上台板演向量数量积例题和练习，获得学生推导、应用定义、性质和运算律的信息，以便及时调控教学；通过小结中学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。2教学反思这是一节介绍新知识的的课，本节内容非常有利于展现知识的形成过程，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”；在展现知识的形成过程中，尽量避免让学生被动接受，而应采取探究式，引导学生探索，重视探索过程；通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和运算律。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程；在课堂上运用问题，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议调控研究的方向与进程；通过问题和提示，帮助学生渡过学习上的难关。