2019-2020年高中数学第三章圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析教学案北师大版选修2-1.doc

2019-2020年高中数学第三章圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析教学案北师大版选修2-1命题及其关系考查方式以四种命题、逻辑联结词为主要内容考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题备考指要1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题2.命题pq中，p，q有真则真；命题pq中，p，q有假则假.例1(xx重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是()A若q则pB若綈p则綈qC若綈q则綈p D若p则綈q解析根据逆命题的概念可知，“若p则q”的逆命题为“若q则p”答案A1设集合Ax|2ax0，p：1A，q：2A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是()A(0,1)(2，) B(0,1)2，)C(1,2 D1,2解析：若p为真，则2a11.若q为真，则2a22.依题意，得p假q真，或p真q假即或10，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析f(x)是奇函数k，kZ；f(x)是奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件答案B3命题p2xx，命题qx2x，则命题p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：命题pA0，)，命题qB0，)(，1故AB，所以p是q的充分不必要条件答案：A4(山东高考)给定两个命题p，q.若綈 p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：因为綈 p是q的必要而不充分条件，所以綈q是p的必要而不充分条件，即p是綈q的充分而不必要条件答案：A全称量词与存在量词考查方式主要考查全称命题与特称命题的真假判断，以及含有一个量词的命题的否定，题型主要是选择题、填空题备考指要1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可否则，这一特称命题为假3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定4.注意命题的否定与否命题的区别.例3命题“对任意xR，都有x20”的否定为()A存在xR，都有x20B对任意xR，都有x20C存在xR，都有x20D不存在xR，使得x20解析由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在xR，使得x20.答案A5(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”答案：B6(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈p是()A存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0B对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0C存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0D对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解析：命题p的否定为“存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由题意知：F，准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.答案：C12(浙江高考)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|，tanCOx2，sinCOx，cosCOx，则C的坐标为，代入椭圆方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C直线与圆锥曲线的位置关系考查方式直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值定点、定值等问题，题型以解答题为主，这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合备考指要处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.例7(陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点解(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M| .又|O1A| ， .化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2.x1x2.x轴是PBQ的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb.此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)13已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，则双曲线的离心率为_解析：由题意知l的方程为yx2，代入C的方程并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2.由M(1,3)为BD的中点知2，即b23a2.故c2a，e2.答案：214(陕西高考)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.15(江西高考)如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)由P在椭圆上，得1.依题设知a2c，则b23c2.将代入，解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4，得M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.注意到A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.将代入，得k1k22k2k1.又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为y(x1)，令x4，求得M，从而直线PM的斜率为k3，联立得A，则直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意模块综合检测(时间 90分钟，满分 120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21解析：命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”故应选D.答案：D2有下面三个判断，其中正确的个数是()命题：“设a，bR，若ab6，则a3或b3”是一个真命题；若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；命题“对任意a，bR，都有a2b22(ab1)成立”的否定是“存在a，bR，使a2b22(ab1)成立”A0B1C2 D3解析：命题的逆否命题为“设a，b R，若a3且b3，则ab6”，命题为真若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，所以错误易知命题错误答案：B3(陕西高考)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：a，b为向量，设a与b的夹角为.由|ab|a|b|cos |a|b|从而得|cos |1，cos 1，所以0或，能够推得ab，反之也能够成立，为充分必要条件答案：C4.1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为()A B.C. D.解析：设F1为椭圆1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.M是PF1的中点，MOPF2，PF2x轴又半焦距c3，设P(x，y)，则x3，代入椭圆方程得1，解得y.M点纵坐标为.答案：A5以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：双曲线1，即1的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1而言，a216，c212.b24，因此方程为1.答案：D6.已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF夹角的余弦值为()A. B.C D解析：设正四面体的棱长为4.正四面体ABCD中，相邻两棱夹角为60，对棱互相垂直又，4，|2141613.|，同理|.cos，.答案：A7已知抛物线y28x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()A2xy40 B2xy40C2xy40 D2xy40解析：设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由y8x1，y8x2，两式相减得：得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又P(3,2)是AB的中点，y1y24，直线l的斜率k2，直线l的方程为2xy40.答案：A8P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且0，若F1PF2的面积是9，则ab的值等于()A4B7C6 D5解析：设|PF1|x，|PF2|y，则xy18，x2y24c2，故4a2(xy)24c236，又，c5，a4，b3.答案：B9在正棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2，直线AC与平面A1BC的夹角为，平面ABC与平面A1BC的夹角为，则与的大小关系是()A Bsin .答案：B10设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积等于()A5 B4C3 D1解析：由椭圆方程，得a3，b2，c，|PF1|PF2|2a6，又|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，由2242(2)2可知，F1PF2是直角三角形，故F1PF2的面积为|PF1|PF2|424.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11命题“存在xR，使2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：存在xR,2x23ax90为假命题，任意xR,2x23ax90为真命题，9a24290，即a28，2a2.答案：2，2 12设点O(0,0,0)，A(1，2,3)，B(1,2,3)，C(1,2，3)，若与的夹角为，则cos _.解析：(1，2,3)，(2,0，6)，cos .答案：13斜率为的直线与双曲线1(a0，b0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：双曲线1的渐近线方程为yx，即ba，b23a2，c2a23a2，e213，e2.答案：(2，)14(福建高考)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：MF1F2是直线的倾斜角，所以MF1F260，MF2F130，所以MF2F1是直角三角形，在RtMF2F1中，|F2F1|2c，|MF1|c，|MF2|c，所以e1.答案：1三、解答题15(本小题满分12分)已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围解：解不等式x28x200得p：Ax|x10或x2解不等式x22x1a20得q：Bx|x1a或x1a，a0依题意，pq但q不能推出p，说明AB.于是，有解得0a3.正实数a的取值范围是(0,316(本小题满分12分)已知抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)设|FA|2|BF|，求直线l的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y24x，F(1,0)，又直线l的斜率为1，直线l的方程为yx1，代入y24x，得x26x10，由根与系数的关系得易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB|x1x2p8，圆的半径r4，所求的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)|FA|2|BF|，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得x112(1x2)，或k2，直线l的方程为y2(x1)17(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求平面AFD与平面FDC的夹角的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长解：(1)取线段EF的中点H，连接AH，因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF，及AH平面AEF，所以AH平面BEF.如图建立空间直角坐标系，则A(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)故(2,2,2)，(6,0,0)设n(x，y，z)为平面AFD的一个法向量，所以 取z，则n(0，2，)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1)，故cosn，m.所以二面角AFDC的余弦值为.(2)设FMx，则M(4x,0,0)，因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，经检验，此时点N在线段BC上所以FM.18(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(1，)在椭圆上，且0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当，求k的值解：(1)依题意，可知PF1F1F2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21，椭圆的方程为y21.(2)直线l：ykxm与O：x2y21相切，则1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，x1x2y1y2，k1.