《空间力系和重心》PPT课件.ppt

第一节 力在直角坐标轴上的投影 第二节 力对轴的矩和力对点的矩 第三节 空间任意力系的简化 第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程 第五节 重心,主要内容,第四章 空间力系和重心,第一节 力在直角坐标轴上的投影,1、概念,空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系 若各力的作用线相互平行，称为空间平行力系 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行， 称为空间一般力系。,空间任意力系,空间平行力系,空间汇交力系,空间力系实例,2.1力在空间的表示,2、力在直角坐标轴上的投影,力的三要素：,大小、方向、作用点,大小：,方向：由、 三个方向角确定或由仰角 与方位角 来确定。,作用点：物体和力矢的起点 或终点的接触之点。,第一节 力在直角坐标轴上的投影,2.2一次投影法（直接投影法）,第一节 力在直角坐标轴上的投影,若已知力F与三个坐标轴x、y、z的夹角分别为 、 时，则F 在三个坐标轴上的投影分别为:,2.3 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上，即:,第一节 力在直角坐标轴上的投影,2.4力沿坐标轴分解： 若以Fx、Fy、Fz 表示力沿直角 坐标轴的正交分量，则：,例题 4-1,力F 作用在正六面的对角线上，如图所示，若正六面体的边长为 a.计算力 F 在 x, y, z轴上的投影.,第一节 力在直角坐标轴上的投影,解-方法 1,解-方法 2,1.力对轴的矩,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,1.1 定义：力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩. 它等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。符号 规定：从z轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，反之取负。也 可按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指 的指向与z轴正向相同，力矩为正，反之为负。,分力 Fxy 使门绕 z 轴旋转,使用,表示力 F 对 z 轴的矩,代数量,1.2 特殊力对轴的矩,力与轴相交（d=0）或与轴平行（力与轴在同一平面内Fxy=0），力对该轴的矩为零.,1.3 力对轴的矩的解析式,由合力矩定理：,即,同理可得其余两式，即有：,力对轴的矩的解析式,2.力对点的矩,力矩的大小 ；,力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。,力矩的转向 ；,决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物,体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,2.1力对点的矩的矢量表示,在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。,力矩矢的表示方法, 力矩矢大小 ：, 力矩矢方位：,与该力和矩心组成的平面 的法线方位相同,注意：力矩矢为定位矢量,注意：力矩矢为定位矢量,注意：力矩矢为定位矢量,注意：力矩矢为定位矢量, 力矩矢的指向：与转向 的关系服从右手螺旋定则。或从 力矩矢的末端看去，物体由该力 所引起的转向为逆时针转向。,力对点的矩的矢积表达式,如果r 表示A点的矢径，则：, 导出,力对点的矩等于矩心到该力作用点 的矢径与该力的矢量积。,又, 结论,力对点的矩的解析表达式,力对点的矩的矢积表达式,3、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,(1) 定理: 力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,4.1 空间力偶三要素,力偶矩的大小,力偶作用面的方位,力偶的转向,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,4、空间力偶矩矢,空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩 矢。,4.2 力偶矩用矢量表示, 力偶矩矢, 力偶矩矢表示方法, 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；, 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同, 矢量的指向：与转向的关 系服从右手螺旋定则。或从力偶矢 的末端看去，力偶的转向为逆时 针转向。,作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,4.3 空间力偶的性质,(1)等效定理,(2)在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另 一平行平面而不改变它对刚体的作用。,(4)空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶 可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此 表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动， 可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。,(3)只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用 面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的 大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.,1.1空间力的平移,附加力偶矩矢,d,第三节 空间任意力系的简化,1.空间任意力系向任意一点简化,1.2 空间力系的简化,点O：空间中任意选择的简化中心,将 F1 平移到点O,将空间中的其它力平移到点O:,主矢 FR,主矩 MO,主矢与简化中心的选择无关,主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。,1.2 空间力系的简化,1.2 空间力系的简化,1.2 空间力系的简化,结论,空间一般力系向任一点O 简化 ，一般可以得到一力和,一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的,主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。,第三节 空间任意力系的简化,1.3 简化结果分析,其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。 此时主矩与简化中心的位置无关。,合力作用线通过简化中心，其大小和方向 与原力系的主矢相同,1.3 简化结果分析,由于做,力螺旋：由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系。不能再进一步简化。,1.3 简化结果分析,M和主矢FR合成为合力FR 而：,所以M/和R 在O点处形成一个力螺旋。,M/不变，是在平面内的一力偶,6 若 ，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角 时，,可将M/搬到O处,因为M/ 是自由矢量，,首先把MO 分解为M/和M ,力系简化中，不随简化中心改变的量有：R， M/ 简化中心为O时：有M和M/，当简化中心为另一点O1 时，为M和M/ ， 即M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关）,R， M/是力系简化中的不变量,1.4 注意,例题 4-2,如图所示，正六面体的边长等于100mm, F1=F2=F3=F4=F5=F=100N, 将该力系向A点简化，并分析简化结果。,解,F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,解,F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,解,F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,以点 A 为简化中心,解,F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,简化结果是一个力螺旋,1 空间任意力系平衡的充要条件和平衡方程：,空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,该力系的主矢、主矩分别为零：,空间任意力系的平衡方程,矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证6个方程是独立的。 巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组。,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1 空间特殊力系平衡方程,（1）空间汇交力系3个独立方程,各力交于O点,平衡方程仅有,即,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1 空间特殊力系平衡方程,（2）空间平行力系3个独立方程,设各力平行于z 轴，则有,平衡方程仅有,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1 空间特殊力系平衡方程,（3）空间力偶系,平衡方程仅有,即,例4-3：均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。,解：（1）以板为对象画出受力图.,z,解：（2）列平衡方程,解：（2）列平衡方程,例4-4：已知T1=2T2，链条与x1夹角为30，鼓轮半径r=10cm，轮盘半径R=20cm，Q=10kN。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承A、B的约束力,解：取鼓轮和重物为研究对象：,例4-4：已知T1=2T2，链条与x1夹角为30，鼓轮半径r=10cm，轮盘半径R=20cm，Q=10kN。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承A、B的约束力,解：取鼓轮和重物为研究对象：,第五节 重心,1、重心的概念,重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。,1.1空间平行力系的中心,(2)平行力系的中心坐标公式(投影式),(1)定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此平行力系的中心。,第五节 重心,FR,物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。即组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为物体的重心,1.2 物体的重心,1.3 确定物体重心的意义,设有一重为P的物体，将它分成许多微小部分，若各微小部分所受 的重力分别用P1, P2,Pn表示，则有 P= P1+ P2+Pn =Pi 取空间直角坐标系Oxyz，设各微小部分重力作用点的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(xn,yn,zn)，物体重心C点的坐标为（xC,yC,zC)。,1.4 重心坐标公式,对y轴应用合力矩定理有：,对x轴应用合力矩定理有：,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将物体连同 坐标轴转动90, 使重力合力与各分力与y轴平行，由重心的概念可 知，此时物体的重心位置C不变。再对z轴应用合力矩定理，可得：,1.4 重心坐标公式,因此，一般物体重心的坐标公式为,1.4 均质物体重心坐标公式,(2)当为均质平面薄板，若每个微小部分面积为A1,A2,An,总面积为A， 则重心坐标公式变为：,(3)当为均质细长杆，若每个微小部分长度L1,L2,Ln,总长为L， 则重心坐标公式变为：,(1)对称法(简单几何形状物体重心） 具有对称点对称轴对称面的均质物体，其重心就在其对称点对称轴对称面上。,1.5 确定重心方法,简单几何形状物体重心,(2) 组合法分割法,例4-5 已知：Z 形截面，尺寸如图。,求：该截面的重心位置。,解：将该截面分割为三部分，取Oxy直角坐标系，如图：,1.5 确定重心方法, 组合法负面积法,解： Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面积为负值。,1.5 确定重心方法,悬挂法：,(3) 实验室方法确定重心,1.5 确定重心方法,则,将车提高H高度后，同理有,称重法：,(3) 实验室方法确定重心,1.5 确定重心方法,一、概念及内容, 空间力偶及空间力对点之矩是矢量，, 空 间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。, 空间力系合力投影定理：, 空间力系的合力矩定理：, 空间力对点之矩与对轴之矩的关系( Z 轴过O点）,第四章 小结,二、基本方程 空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,四矩式、 五矩式 和六矩式的附加条件 均 为使方程式独立。,四 矩 式,空 间xoy 面的力系, 空间力系的几个问题, x , y, z (三个矩轴和三个投影轴可以不重合)可以是任 选的六个轴。, 力矩方程一般不少于三个（MO是矢量）, 空间一般力系有六个独立平衡方程（空间物体六个 自由度） 可解六个未知量。,三、解题步骤、技巧与注意问题：, 解题步骤,(与平面问题相同),选研究对象；,画受力图；,选取坐标轴；,列平衡方程、求解。, 解题技巧, 用矩轴代替投影轴，常常方便解题；, 投影轴尽量选取得与未知力，力矩轴一般要与未知 力平行或相交；, 一般采取从整体局部的研究方法；, 需注意的问题, 力偶在投影方程中不出现；, 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量；, 求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、 形心、质心为同一点。,静 力 学,