2019-2020年高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理应用举例教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理应用举例教案 新人教A版自主梳理1.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方位角一般指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如方位角45，是指北偏东45，即东北方向(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图所示)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度角坡面与水平面所成的二面角的度数.坡面与水平面的夹角(如图所示)(5)坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即itan (i为坡比，为坡角)自我检测1如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且 AB200 米则 A，C 两点的距离为( )A.米 B100 米C.米 D200 米2如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10 D南偏西10灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西103在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为_m. 4如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m. 500(1)5ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sin B，cosADC，求AD.解由cosADC0知B，由已知得cos B，sinADC，从而sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.由正弦定理得，所以AD25.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型题型一 与距离有关的问题例1如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，CD30(海里)，需要的时间t1(小时)故救援船到达D点需要1小时变式训练1 （1）要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离.解:在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC. 在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB (km)， A、B之间的距离为 km.（2）某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解 如图所示，易知CAD253560，在BCD中，cos B，所以sin B.在ABC中，AC24，由BC2AC2AB22ACABcos A，得AB224AB3850，解得AB35，AB11(舍)，所以ADABBD15.故此人在D处距A还有15千米 点评： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解 （3）如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里， 在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC海里.又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120， 在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.题型二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD.由正弦定理得，所以BC，在RtABC中， ABBCtanACB变式训练2(1)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高解由题意可知，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，BD20.过B作BECD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有BEA30.在RtBED中，又BDE1801353015.BEDBsin 152010(1)在RtABE中，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米 (2) 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解(1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(米)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(米).在RtABE中，tan .AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD.当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(米).设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟.则t6060(分钟).(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(1)25(3)(米).即所求塔高AB为25(3)米.题型三几何中的正、余弦定理应用问题例3如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的长.探究提高要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，解得BD.故BD的长为.变式训练3 如图所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.解: (1)因为BCD9060150，CBACCD，所以CBE15，所以cosCBEcos(4530).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理，故AE.四三角形中最值问题例4某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解 (1)由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124(m)因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2)由题设知dAB，得tan . tan .所以tan()，当且仅当d，即d55时，上式取等号，所以当d55时，tan()最大因为0，则00，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解方法一(1)依题意，有A2，3，又T，.y2sinx.当x4时，y2sin3，M(4,3)又P(8,0)，MP5(2)如图，连接MP，在MNP中，MNP120，MP5.设PMN，则060.由正弦定理得，NPsin ，MNsin(60)，NPMNsin sin(60)sin(60)060，当30时，折线段赛道MNP最长即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长1解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 练习一一、选择题1如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ()A.B. C.D.2如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为 ()A50 mB50 mC25 mD. m3ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 ()A.B. C.D94某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 ()A.B2 C.或2D35一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是每小时 ()A5海里B5海里 C10海里D10海里二、填空题6把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是_cm7一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km30 km8某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_0.6_米/秒的速度匀速升旗三、解答题9.如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长.解在ADC中，AD10， AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.10.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=， 又0A180，A=120故S=16sin120=8 11如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75、30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1又BCD180606060，所以ABCCBD，所以BABD.在ABC中，即AB，所以BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33 km.12如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？解如图，连接A1B2，由题意知， A1B120，A2B210，A1A23010(海里)又B2A2A118012060，A1A2B2是等边三角形，B1A1B21056045.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200， B1B210(海里)因此乙船的速度大小为6030(海里/小时)练习二一、选择题1.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么cos 等于 ()A. B. C. D.2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 203.在ABC中，已知A45，AB，BC2，则C等于 ()A.30 B.60 C.120 D.30或1504.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos等于()A. B. C. D.二、填空题5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_.50_米.6.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_.87.已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_.158.在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_2_.9.在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.60_.三、解答题10.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在ABC中，BC30，B30，ACB18045135，所以A15.由正弦定理，得，即，所以AC15().所以A到BC的距离为ACsin 4515()15(1)15(1.7321)40.98(海里).这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险11在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南 方向300千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/小时的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解: 如图,设在时刻 t (小时)台风中心为Q, 此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t60(千米)若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ10t60.由余弦定理知OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ.PO300，PQ20t，cosOPQcos(45)coscos45sinsin45，12在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45(其中sin，090)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：(1)如图，AB40，AC10，BAC由于090，所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行驶速度为 15(海里/小时)(2)方法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有， x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)30，y2ACsinCAD10sin(45)20，又点E(0，55)到直线l的距离d37，所以船会进入警戒水域方法二易求点B坐标为(40,40)(方法同解法一)在ABC中，由正弦定理得sinBsin，cosB . 即tanB，kBCtan(45B)2.直线BC的方程为y402(x40)，即2xy400，以下同解法一