2019-2020年高中数学 抛物线与圆锥曲线的统一定义知识精讲 理 苏教版选修2-1.doc

2019-2020 年高中数学 抛物线与圆锥曲线的统一定义知识精讲 理 苏教 版选修 2-1 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线与圆锥曲线的统一定义 二、本周教学目标： 1、掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。 2、掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线方程解决简单的应用问题。 3、了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。 4、了解曲线方程的概念，能根据曲线方程的概念解决一些简单的问题。 三、本周知识要点： （一）抛物线 1、抛物线定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物 线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 图 形 x yOlyl 方 程 焦 点 准 线 不同点：（1）图形关于 x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为、左端为； 图形关于 y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在 x 轴（或 y 轴）正向时，焦点在 x 轴（或 y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 x 轴 （或 y 轴）负向时，焦点在 x 轴（或 y 轴）负半轴时，方程右端取负号 2、抛物线的几何性质 （1）范围 因为 p0，由方程可知，这条抛物线上的点 M 的坐标（x，y）满足不等式 x0，所以 这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方 无限延伸 （2）对称性 以y 代 y，方程不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛 物线的轴 （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当 y=0 时，x=0，因此抛物线的 xyOl 顶点就是坐标原点 （4）离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表 示由抛物线的定义可知，e=1 （二）圆锥曲线的统一定义 1、椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内的常数， 那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且 关于短轴对称 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 K2F2F1N1K1 N2P B2B1 A2A1 xO y K2F 2F 1 N1K1 N2P B2B1A2A1 xO y 2、双曲线的第二定义：一动点到定点 F 的距离与到一条定直线的距离之比是一个内的常 数，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准 线常数 e 是双曲线的离心率 准线方程： A2A1 F2F1 xOy A2A1F2F1 xOy 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 三、曲线与方程 1、曲线方程 在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点的坐标都是这个方程的解且的解为坐标的点都 是曲线上的点，那么，方程叫做曲线 C 的方程；曲线 C 叫做方程的曲线 2、求简单的曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标； （2）写出适合条件 P 的点 M 的集合； （3）用坐标表示条件 P（ M） ，列出方程； （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 求简单的曲线方程的一般步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明 另外，根据情况，也可以省略步骤（2） ，直接列出曲线方程 【典型例题】 例 1. （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2） ，求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用 p 的代数式表示的，所以只要求 出 p 即可； （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出 p，问题易解。 解析：（1） p3，焦点坐标是（，0）准线方程是 x （2）焦点在 y 轴负半轴上，2， 所以所求抛物线的标准方程是 例 2. 已知抛物线的标准方程是（1） y212 x， （2） y12 x2，求它的焦点坐标和准线方 程 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标 准形式， （2）求出参数 p 的值 解：（1） p6，焦点坐标是（3，0） ，准线方程是 x3 （2）先化为标准方程， ，焦点坐标是（0， ） ， 准线方程是 y. 例 3. 求下列椭圆的准线方程：（1） （2） 解：（1）方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 （2）方程是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 例 4. 椭圆上有一点 P，它到椭圆的左准线距离为 10，求点 P 到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点 P 到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20812 例 5. 设 A、B 两点的坐标是（1，0） 、 （-1，0） ，若，求动点 M 的轨迹方程 解：设 M 的坐标为，M 属于集合 P=.由斜率公式，点 M 所适合的条件可表示为 ， 整理后得 （1） 下面证明 （ x1）是点 M 的轨迹方程 （1）由求方程的过程可知， M 的坐标都是方程 （ x1）的解； （2）设点的坐标是方程 （ x1）的解，即)1(),1(212xyyx ， 由上述证明可知，方程 （ x1）是点 M 的轨迹方程 说明：所求的方程后面应加上条件 。 例 6. 已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一个点到 A（0，2）的距离减去它到轴的距 离的差都是 2，求这条曲线的方程 分析：这条曲线是到 A 点的距离与其到轴的距离的差是 2 的点的集合或轨迹的一部分。 解：设点是曲线上任意一点， MB轴，垂足是 B，那么点 M 属于集合 P=M MA- MB=2 即 =2 整理得 ， 因为曲线在轴的上方，所以 y0，虽然原点 O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不 属于已知曲线，所以曲线的方程应是： （0） 它的图形是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点 例 7. 点 P（x，y）与定点 F2（c，0）的距离与到的距离之比为常数，求 P 的轨迹方程 解：设 d 是点 P 到直线的距离根据题意得 acxy|)(2 化简，得 （） 这是双曲线的标准方程 【模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 1. 双曲线 16x29 y2=144 的实轴长、虚轴长、离心率分别为（ ） （A）4， 3， （B）8， 6， （C）8， 6， （D）4， 3， 2. 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8， e=的双曲线的标准方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 3. 双曲线的两条准线间的距离等于（ ） （A） （B） （C） （D） 4. 抛物线方程为 y ax2（ a0） ，则其准线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 5. 线（ m0）的焦点坐标是（ ） （A） （0， ）或（0， ） （B） （0， ） （C） （0， ）或（0， ） （D） （0， ） 6. 在直线 3x4 y120 上的抛物线标准方程是（ ） （A） y216 x 或 x216 y （B） y216 x 或 x212 y （C） x212 y 或 y216 x （D） x216 y 或 y212 x 7. 已知点 A（-3，0） ， B（0， ） ， C（4，-） ， D（3sec ， tan ） ，其中在曲线上的点的 个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8. 求下列椭圆的焦点坐标与准线方程 （1） （2） 9. 根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是 F（2，0） （2）准线方程是 （3）焦点到准线的距离是 4，焦点在 y 轴上 （4）经过点 A（6，2） 10. 求点 P 到点 F（4，0）的距离比它到直线+5=0 的距离小 1 的点的轨迹方程 11. 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程 【试题答案】 1、C 2、A 3、A 4、D 5、B 6、C 7、B 8、答案：（1）焦点坐标；准线方程 （2）焦点坐标；准线方程 9、 （1） y28 x （2） x2 y （3） x28 y 或 x28 y （4） 或 10、解：设 P 为所求轨迹上任意一点， 点 P 到 F 的距离比它到直线+5=0 的距离小 1. 故点 P 到 F（4，0）的距离与点 P 到直线+4=0 的距离 PD相等 PF= PD =-（-4） 11、解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点， 所以 ，即 因此，所求的抛物线方程为