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,8.6 立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,第八章 立体几何,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) . (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l . (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u， 则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2， 则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.( ) (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ),l或l ,23(4),解析,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量.,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,证明 方法一 如图，取BD的中点O，以O为原点， OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0，y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD. 方法二 在线段CD上取点F，使得DF3FC，连结OF， 同证法一建立空间直角坐标系， 写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,又PQ平面BCD，OF平面BCD， PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明线面平行的方法有 (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.,题型一 证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练1 (2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02).,(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ； (2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.,方法一 (1)证明 如图(1)， 连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体， 知BC1AD1. 当1时，P是DD1的中点， 又F是AD的中点，所以FPAD1. 所以BC1FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,图(1),(2)解 如图(2)，连结BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，,又DPBQ，DPBQ，,所以四边形PQBD是平行四边形， 故PQBD，且PQBD，,图(2),在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是EQFP ，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形. 分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连结OH，OG， 则GOPQ，HOPQ，而GOHOO， 故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90.,连结EM，FN，则由EFMN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形. 连结GH，因为H，G分别是EF，MN的中点， 所以GHME2.,由OG2OH2GH2，,方法二 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系Dxyz.,图(3),由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，,而FP平面EFPQ， 且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,(2)解 设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，,于是可取n(，1). 同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1).,若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2，1)(，1)0，,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行.,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.,并且|a|b|c|2，,abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,方法二 如图所示，取BC的中点O，连结AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,取B1C1的中点O1，以O为原点，,y轴，z轴建立空间直角坐标系，,设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,故AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明垂直的方法： (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,题型二 证明垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练2 如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角. (1)求证：CM平面PAD；,证明 以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABCD所成的角， PBC30.,令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，,CM平面PAD.,(2)求证：平面PAB平面PAD.,PBAB，BEPA.,又PADAA，BE平面PAD， 又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.,题型三 解决探索性问题,例3 如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,解 设BD与AC交于点O， 则BDAC，连结A1O，在AA1O中， AA12，AO1，A1AO60，,A1OAO.,思维点拨,解析,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD. 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,思维点拨,解析,题型三 解决探索性问题,例3 如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,例3 (2)求二面角DA1AC的余弦值；,例3 (2)求二面角DA1AC的余弦值；,思维点拨,解析,例3 (2)求二面角DA1AC的余弦值；,解 由于OB平面AA1C1C， 平面AA1C1C的一个法向量为n1(1,0,0). 设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，,思维点拨,解析,思维点拨,解析,例3 (2)求二面角DA1AC的余弦值；,取n2(1， ，1)，则n1，n2即为二面角DA1AC的平面角，,思维点拨,解析,例3 (2)求二面角DA1AC的余弦值；,所以，二面角DA1AC的余弦值为 .,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,解 假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,设n3平面DA1C1，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,取n3(1,0，1)， 因为BP平面DA1C1，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,即点P在C1C的延长线上， 且C1CCP.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证.另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,证明 连结BD，设AC交BD于点O，则ACBD. 由题意知SO平面ABCD.,跟踪训练3 如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,以O为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.,跟踪训练3 如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,跟踪训练3 如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,故OCSD.从而ACSD.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,而BE不在平面PAC内， 故BE平面PAC.,思想与方法系列14 利用向量法解决立体几何问题,典例：(14分)(2014课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点. (1)证明：PB平面AEC；,温 馨 提 醒,规 范 解 答,证明 连结BD交AC于点O，连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点. 又E为PD的中点，所以EOPB. 因为EO平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD ，求三棱锥EACD的体积.,解 因为PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,设B(m,0,0)(m0)，,设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，,温 馨 提 醒,规 范 解 答,又n2(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，,温 馨 提 醒,规 范 解 答,因为E为PD的中点，,三棱锥EACD的体积,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,方 法 与 技 巧,1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.,2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.,失 误 与 防 范,用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.设平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，h，k)，若，则hk的值为_.,h4，k4，hk0.,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,AB与平面CDE平行或在平面CDE内.,平行或在平面内,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是_.,所以x5，y13，z3，即D(5,13，3).,(5,13，3),2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数_.,解析 由题意得ctab(2t，t4，3t2)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 ，AD2 ，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的角为_.,解析 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,答案 90,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_. 解析 设平面的法向量为m(x，y，z)，,m(1,1,1)，mn，mn，.,平行,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.,则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4),(x6y，3xy,2x4y)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,答案 16,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量，若，则t_. 解析 ，uv，uv0， 1284t0，t5.,5,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB PD.证明：平面PQC平面DCQ.,证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又DQDCD，故PQ平面DCQ， 又PQ平面PQC， 平面PQC平面DCQ.,10.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB；,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又AB平面PAB，EF平面PAB， EF平面PAB.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求证：平面PAD平面PDC.,又APADA，DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PDC.,1.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为_.,解析 设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,15,2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN ，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,MN平面B1BCC1.,答案 平行,2,3,4,5,1,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足 的实数有_个.,2,3,4,5,1,解析 建立如图的坐标系， 设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，,又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上， xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1. 有2个符合题意的点P，即对应有2个.,答案 2,2,3,4,5,1,4.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证： (1)DE平面ABC；,证明 如图建立空间直角坐标系Axyz，,令ABAA14，,2,3,4,5,1,则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4). 取AB中点为N，连结CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，,又NC平面ABC，DE平面ABC. 故DE平面ABC.,2,3,4,5,1,(2)B1F平面AEF.,又AFEFF，B1F平面AEF.,2,3,4,5,1,5.在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证：EFCD； 证明 如图，分别以DA、DC、DP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设ADa，则D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.,若使GF平面PCB，则,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,
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