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随堂讲义 专题一 集合、常用逻辑用语、 函数与导数 第四讲 导数及其应用,栏目链接,高考热点突破,已知函数f(x)x33ax2(36a)x12a4(aR) (1)求证：曲线yf(x)在x0处的切线过点(2，2)； (2)若函数f(x)在xx0处取得极小值，x0(1，3)，求实数a的取值范围.,高考热点突破,思路点拨：(1)求出函数f(x)在x0处的导数和f(0)的值，结合直线的点斜式方程，可求切线方程； (2)先通过讨论导数的零点存在性，得出使函数有极小值的实数a的大致取值范围，然后通过极小值所对应的点x0(1，3)，得到关于实数a的不等式，解不等式，得出取值范围 解析：(1)f(x)x33ax2(36a)x12a4， f(x)3x26ax36a. 故在x0处切线的斜率k36a. 又f(0)12a4， 切线方程为y12a4(36a)x， 即(36a)xy12a40.,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,求曲线切线方程的步骤是： (1)求出函数yf(x)在点xx0的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率 (2)在已知切点坐标P(x0，f(x0)和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0) 注意：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解,主干考点梳理,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,(2014全国大纲卷)函数f(x)ax33x23x(a0) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围 思路点拨：(1)首先求出函数的导数，然后求出f(x)0或f(x)0的解集即可 (2)分类讨论在区间(1，2)上使f(x)0成立的条件，并求出参数a的取值范围即可,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,利用导数研究函数的单调性的一般思路： (1)确定函数的定义域 (2)求导数f(x) (3)若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,突破点3 利用导数研究函数的极值与最值问题,(2014四川卷)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数 (1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值； (2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,利用导数研究函数的极值的一般思路： (1)确定定义域 (2)求导数f(x) (3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右值的符号，求出极值，当根中有参数时要注意分类讨论若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,解析：如图所示，由图可知,高考热点突破,(1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，而求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数；此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质 ，根据函数的定义域，将积分区间分为几部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,高考热点突破,1明确函数导数的几何意义，即曲线yf(x)在(x0，f(x0)处切线的斜率是f(x0) 2熟练掌握导数的四则运算 3注意曲线与直线相切并不一定只有一个公共点不能随意将直线和圆锥曲线相切时仅有一个公共点迁移过来 4明确函数的极值表示函数yf(x)在一点附近的情况，即极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值(或极小值)可有若干个，而且有时某个极小值会大于它的某个极大值,高考热点突破,5在一般情况下，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 6能根据函数的图象确定函数的单调区间和函数的极值或最值，反之，能根据函数的单调性与极值等画出函数的草图,
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