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1.1 集合的概念及运算,高考理数,1.元素与集合 (1)元素与集合的关系 (2)集合中元素的特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 . (3)集合的分类： 无限集 、 有限集 .特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做 空集 ,记作. (4)常用数集及其表示符号,知识清单,(5)集合的表示方法： 列举法 、 描述法 、 韦恩图法 . 注意:描述法表示集合,一般形式是xI|p(x).,2.集合间的关系 (1)集合间的运算关系,续表,注意:A=BAB且AB. 遇到形如AB的问题,一定要考虑A=的情况. (2)集合间的逻辑关系,(3)两个常用结论 AB=AAB;AB=BAB.,3.设有限集合A,card(A)=n(nN*),则 (1)A的子集个数是 2n ; (2)A的真子集个数是 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .,方法1 数轴与韦恩(Venn)图在解题中的应用 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,数形结合是解答集合问题的常用方法,解 题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具, 将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决. 例1 (2016课标全国,1,5分)设集合S=x|(x-2)(x-3)0,T=x|x0,则ST= ( ) A.2,3 B.(-,23,+) C.3,+) D.(0,23,+) 解析 S=x|(x-2)(x-3)0=x|x2或x3,在数轴上表示出集合S,T,如图所示: 由图可知ST=(0,23,+),故选D. 答案 D,突破方法,1-1 (2016山东济宁一模,2,5分)已知全集U=R,集合A=x|x-1|2,UB=(-,1)4,+),则A B= ( ) A.1,3 B.(1,3 C.-1,4 D.-1,4) 答案 D 解析 A=x|x-1|2=x|-1x3, UB=(-,1)4,+),B=1,4).在数轴上表示出集合A、B,如图. 由图得AB=-1,4),故选D. 1-2 设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1S2S3=I,则下面论断正确的是 ( ) A.(IS1)(S2S3)= B.S1(IS2)(IS3) C.(IS1)(IS2)(IS3)= D.S1(IS2)(IS3)(IS3),答案 C 解析 解法一:令S3=S1S2,依题意画出韦恩图,如图所示,则有S1S2=I,故(IS1)(IS2)=I(S1 S2)=II=,所以(IS1)(IS2)(IS3)=(IS3)=,故C正确.易判断A、B、D不正确. 解法二:S1S2S3=I, I(S1S2S3)=, I(S1S2)(IS3)=, (IS1)(IS2)(IS3)=,故C正确.易判断A、B、D不正确. 解法三:令S1=1,2,S2=2,3,S3=2,I=1,2,3,则(IS1)(IS2)(IS3)=311,3=,故 C正确.易判断A、B、D不正确.,方法2 利用分类讨论研究集合问题 1.注意空集的特殊性,在解题中,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如AB(B), 则有A=和A两种可能,此时应分类讨论. 2.在解含参变量的有关集合问题时,有时需对参变量进行分类讨论.同时在解题过程中,最易忽略 集合元素的互异性,从而导致解题的错误.因此求出参变量后,一定要代入检验. 3.分类讨论要注意分类标准的寻求和层次的划分,做到分类标准合理、自然,层次划分明确、清 晰,对讨论的问题的分类做到不重不漏. 例2 (2016甘肃兰州二诊,1)已知集合A=1,2,m2,B=1,m,若BA,则m= ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2 解题导引 由BA, 得mA分类讨论 求出m的值代入检验, 得结论 解析 BA,mA,方法3 与集合有关的新概念问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,是近几年高考的 热点问题,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种 推理证明,这类试题是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则 等类型. 解此类题的一般思路: (1)理解问题中的新公式、新运算、新法则的含义; (2)利用学过的数学知识进行逻辑推理; (3)对选项进行筛选,验证,得出结论. 例3 (2015广东深圳二模,8,5分)设X是直角坐标平面上的任意点集,定义X*=(1-y,x-1)|(x,y)X. 若X*=X,则称点集X“关于运算*对称”. 给定点集A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x-1,C=(x,y)|x-1|+|y|=1. 其中“关于运算*对称”的点集个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解题导引 设1-y=x, x-1=y解出x,y代入集合A,B,C得到集合A*,B*,C*判断A*=A,B*=B, C*=C是否成立结论 解析 设 则 则X*=(x,y)|(1+y,1-x)X,由题意,得 A*=(x,y)|(1+y)2+(1-x)2=1=(x,y)|(x-1)2+(y+1)2=1, B*=(x,y)|1-x=(1+y)-1=(x,y)|y=-x+1, C*=(x,y)|(1+y)-1|+|1-x|=1=(x,y)|x-1|+|y|=1,所以A*A,B*B,C*=C,故选B. 答案 B 3-1 对于正实数,记M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:对于任意的x1,x2R,x2x1,有-(x2 -x1)f(x2)-f(x1)(x2-x1).下列结论中正确的是 ( ) A.若f(x) ,g(x) ,则f(x)g(x) B.若f(x) ,g(x) ,且g(x)0,则 C.若f(x) ,g(x) ,则f(x)+g(x),D.若f(x) ,g(x) ,且12,则f(x)-g(x) 答案 C 解析 依题意,若f(x) ,g(x) , 则x1,x2R且x2x1,有-1(x2-x1)f(x2)-f(x1)1(x2-x1),-2(x2-x1)g(x2)-g(x1)2(x2-x1), -(1+2)(x2-x1)f(x2)-f(x1)+g(x2)-g(x1)(1+2)(x2-x1), 即-(1+2)(x2-x1)f(x2)+g(x2)-f(x1)+g(x1)(1+2)(x2-x1), 从而有f(x)+g(x) . 3-2 定义集合运算:AB=x|xA,且xB,已知集合M=x|-3x4,N=x|-1x7,则(NM) M= . 答案 x|4x7 解析 因为NM=x|xN,且xM=x|4x7, 所以(NM)M=x|xNM,且xM=x|4x7.,
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