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第九节 离散型随机变量的均值与方差,【知识梳理】 1.离散型随机变量X的分布列,2.离散型随机变量X的均值与方差,x1p1+x2p2+xipi,+xnpn,平均水平,平均偏离程度,算术平方根,3.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_(a,b为常数). (2)D(aX+b)=_(a,b为常数). 4.两点分布的均值与方差 若随机变量X服从两点分布,则E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p,p(1-p),5.二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即XB(n,p), 则E(X)=_,D(X)=_.,np,np(1-p),【特别提醒】 1.随机变量X与其均值的关系 均值E(X)由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值的取值平均水平. 2.均值与方差的关系 D(X)=E(X2)-E2(X).,3.超几何分布的均值 若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-3P68练习T1改编)已知X的分布列为,设Y=2X+3,则E(Y)的值为 ( ) A. B.4 C.-1 D.1 【解析】选A.E(X)= E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=,2.(选修2-3P64练习T4改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:,若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_. 【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为 E(X)=00.4+10.3+20.2+30.1=1, E(Y)=00.3+10.5+20.2=0.9, 所以E(X)E(Y),故乙的技术较好. 答案:乙,感悟考题 试一试 3.(2016武汉模拟)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)= ( ),【解析】选B.P(X=3)= ，P(X=2)= P(X=1)= ,P(X=0)= E(X)=,4.(2016洛阳模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对个数记为,则的期望的值为 ( ) A. B. C.1 D.2,【解析】选C.将四个不同小球放入四个不同盒子，每 个盒子放一个小球，共有 种不同放法，放对的个数 可取的值有0，1，2，4，其中P(=0)=,5.(2015广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=20，则p=_. 【解析】依题意可得E(X)=np=30 且D(X)=np(1-p)=20，解得p= . 答案：,考向一 离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求均值与方差问题 【典例1】(2015山东高考)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).,在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”. (2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).,【解题导引】(1)分十位数字是2,3,4讨论.(2)先求X的可能取值及对应概率,再求分布列及数学期望. 【规范解答】(1)若十位数字是4,有145,245,345;若十位数字是3,有135,235;若十位数字是2,有125.所以个位数字是5的“三位递增数”有145,245,345,135, 235,125共6个.,(2)个位数字是3时,有1个;个位数字是4时,有3个;个位数字是5时,有6个;个位数字是6时,有10个;个位数字是7时,有15个;个位数字是8时,有21个;个位数字是9时,有28个,共84个. 三个数字之积能被10整除的有22个,三个数字之积能被5整除,但不能被10整除的有6个,三个数字之积不能被5整除的有56个.,X的可能取值为-1,0,1, P(X=-1)= ;P(X=0)= ;P(X=1)= 所以X的分布列为 所以X的数学期望E(X)=,【易错警示】解答本题(2)会出现以下错误: (1)将X取值为-1,0,1时对应的“三位递增数”的个数确定错,从而导致P(X=-1)或P(X=0),P(X=1)计算错误,而致误. (2)将E(X)的计算公式记错而致误. (3)在计算E(X)的过程中计算错误而致误.,命题方向2:均值与方差的应用问题 【典例2】(2016郑州模拟)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列.,(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随 机变量为取出此球所得分数.若E()= ,D()= , 求abc.,【解题导引】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同一个球可能两次都能抽到.(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系.,【规范解答】(1)由题意得,=2,3,4,5,6, 故P(=2)= P(=3)= P(=4)= P(=5)= P(=6)=,所以的分布列为 (2)由题意知的分布列为,所以E()= D()= 化简得 解得 所以abc=321.,【母题变式】 1.在本例题(1)的条件下求E()，D(). 【解析】由(1)解得E()= D()=,2.在本例题(2)的条件下,若X=3+5,求E(X),D(X). 【解析】由已知得E(X)=3E()+5=3 +5=10, D(X)=32D()=9 =5.,【技法感悟】 1.求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)理解的意义,写出可能的全部值. (2)求取每个值的概率. (3)写出的分布列. (4)由均值的定义求E(). (5)由方差的定义求D().,2.由均值与方差情况求参数问题的求解思路 先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示,再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组),然后求解.,【题组通关】 1.(2016武汉模拟)已知随机变量的分布列是 其中(0, )，则E()=( ),【解析】选D.由题意可知 所以 +cos =1，sin2+cos2=1，解得 sin = ,cos = ，E()= +2cos =2cos - sin =,2.(2014浙江高考)随机变量的取值为0,1,2,若P(=0)= ,E()=1,则D()=_.,【解析】设=1时的概率为p,则E()=0 +1p+ 2(1-p- )=1,解得p= ,故D()=(0-1)2 +(1- 1)2 +(2-1)2 = . 答案:,3.(2016合肥模拟)一个不透明的盒子中关有蝴蝶、 蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只,现在盒子上开一小孔,每 次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出). 若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序),则飞出的是 蝴蝶或蜻蜓的概率是,(1)求盒子中蜜蜂有几只. (2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序),记飞出蜜蜂的只数为X,求随机变量X的分布列与数学期望E(X).,【解析】(1)设“2只昆虫先后任意飞出,飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A,设盒子中蜜蜂为x只,则由题意,得 P(A)= 所以(11-x)(10-x)=42, 解之得x=4或x=17(舍去), 故盒子中蜜蜂有4只.,(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0，1，2，3， P(X=0)= ，P(X=1)= P(X=2)= ，P(X=3)= 故X的分布列为,数学期望E(X)=,考向二 与二项分布有关的均值与方差 【典例3】(1)(2016成都模拟)已知X+=8,若XB(10,0.6),则E()和D()分别是 ( ) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6,(2)(2016兰州模拟)翡翠市场流行一种赌石“游戏规 则”:翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着,无法知 道其内的好坏,须切割后方能知道翡翠的价值,参加者 先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石块并现场开石验 证其具有的收藏价值.某举办商在赌石游戏中设置了 甲、乙两种赌石规则,规则甲的赌中率为 ,赌中后可,获得20万元;规则乙的赌中率为p0(0p01),赌中后可获得30万元;未赌中则没有收获.每人有且只有一次赌石机会,每次赌中与否互不影响,赌石结束后当场得到兑现金额.,收藏者张先生选择规则甲赌石,收藏者李先生选择规则乙赌石,记他们累计获得的金额数为X(单位:万元),若X30的概率为 ,求p0的大小. 若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石,问:他们选择何种规则赌石,累计得到的金额的数学期望最大?,【解题导引】(1)先根据公式E(X)=np,D(X)=np(1-p),求E(X),D(X),再据=8-X求E()和D(). (2)第问是理解对立事件及其概率的计算,记“这两人累计获得的金额数X30”为事件A,则事件A的对立事件为“这两人累计获得的金额数X=50”;,第问是考查离散型随机变量的期望值,通过对期望值的计算,比较期望值的大小得到求解问题的决策.,【规范解答】(1)选B.因为XB(10,0.6),则n=10,p=0.6,所以E(X)=100.6=6,D(X)=100.6(1-0.6)=2.4, 又X+=8,知=8-X, 所以E()=8-E(X)=8-6=2, D()=(-1)2D(X)=2.41=2.4.,(2)由已知得收藏者张先生赌中的概率为 ,收藏者 李先生赌中的概率为p0,且两人赌中与否互不影响.记 “这两人累计获得的金额数X30”为事件A,则事件A 的对立事件为“这两人累计获得的金额数X=50”. 因为P(X=50)= p0, 所以P(A)=1-P(X=50)=1- p0= 求得p0=,设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为X1,都选择规则乙赌中的次数为X2,则这两人选择规则甲累计获得的金额的数学期望为E(20X1),选择规则乙累计获得的金额的数学期望为E(30X2). 由已知可得:X1B(2， ),X2B(2,p0),所以E(X1)= ,E(X2)=2p0,从而E(20X1)=20E(X1)= E(30X2)=30E(X2)=60p0, 若E(20X1)E(30X2),则 60p0,解得0p0 若E(20X1)E(30X2),则 60p0,解得 p01; 若E(20X1)=E(30X2),则 =60p0,解得p0= .,综上所述,当0p0 时,他们都选择规则甲进行赌石时,累计得到的金额的数学期望最大; 当 p01时,他们都选择规则乙进行赌石时,累计得到的金额的数学期望最大; 当p0= 时,他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时,累计得到的金额的数学期望相等.,【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),则用公式E()=np,D()=np(1-p)求解,可大大减少计算量.,(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).,【变式训练】 1.(2016广州模拟)若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为 ( ) A.32-2 B.2-4 C.32-10 D.2-8 【解析】选C.因为E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,所以p= ,n=12,则P(X=1)=,2.某学科测试中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试,选择A,B,C三题答卷数如下表:,(1)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷,其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份,则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少? (2)若在(1)问被抽出的答卷中,A,B,C三题答卷得优的份数都是2,从被抽出的A,B,C三题答卷中再各抽出1份,求这3份答卷中恰有1份得优的概率.,(3)测试后的统计数据显示,B题的答卷得优的有100份,若以频率作为概率,在(1)问中被抽出的选择B题作答的答卷中,记其中得优的份数为X,求X的分布列及其数学期望E(X).,【解析】(1)由题意可得: 应分别从选择B,C题作答的答卷中抽出5份,2份.,(2)记事件M:从被抽出的A,B,C三种答卷中分别再任取 出1份,这3份答卷中恰有1份得优,可知只能C题答卷为 优,依题意P(M)=,(3)由题意可知,B题答卷得优的概率为 ,显然被抽出的 B题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,且 XB(5， ), P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)=,P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= 随机变量X的分布列为,所以E(X)=,【加固训练】 1.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是 . (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率.,(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率. (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望和方差.,【解析】(1)P= 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 (2)6场胜3场的情况有 种， 所以P= 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为,(3)由于服从二项分布，即B(6, )， 所以E()=6 =2，D()= 所以在6场比赛中这支篮球队胜场的数学期望为2，方 差为,2.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4,将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上. (1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率. (2)设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数,求的分布列及期望E().,【解析】(1)不能被4整除的有两种情形: 4个数均为奇数,概率为P1= 4个数中有3个奇数,另一个为2, 概率为P2= 这两种情况是互斥的, 故所求的概率为P=,(2)为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知的可能取值是0，1，2，3，4，根据符合二项分布，得到P(=k)= (k=0，1，2，3，4)，的分布列为,因为服从二项分布B(4， )， 所以E()=4 =2.,考向三 利用均值与方差解决实际问题 【典例4】(2014福建高考)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.,(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求 顾客所获的奖励额为60元的概率; 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,【解题导引】(1)列分布表,再按公式求期望.(2)欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡,则应求方差,方差小的为最佳方案.,【规范解答】(1)设顾客所获的奖励额为X. 依题意,得P(X=60)= 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X=60)= ,P(X=20)=,即X的分布列为 所以顾客所获得的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).,(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10, 10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.,对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为,X1的期望为E(X1)=20 +60 +100 =60. X1的方差为D(X1)=(20-60)2 +(60-60)2 +(100- 60)2 =,X2的期望为E(X2)=40 +60 +80 =60. X2的方差为D(X2)=(40-60)2 +(60-60)2 +(80- 60)2 =,对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为,由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.,【规律方法】利用均值与方差解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.,(3)依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差值. (4)依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.,【变式训练】(2016长春模拟)在2015年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为 ,且每题正确回答与否互不影响.,(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望. (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.,【解析】(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为,则的可能取值为1,2,3, P(=1)= ,P(=2)= P(=3)= 所以考生甲正确回答题数的分布列为,E()=1 +2 +3 =2. 又B(3， ),其分布列为 所以E()=np=3 =2.,(2)因为D()=(2-1)2 +(2-2)2 +(2-3)2 = ， D()=np(1-p)= 所以D()P(2).,从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲通过的可能性大.因此可以判断甲的通过能力较强.,
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