资源描述
第二节 排列与组合,【知识梳理】 1.排列,不同,一定,顺序,不同,所有不同排列,n(n-1)(n-2)(n-m+1),n!,1,2.组合,不同,并成一组,不同,所有组合的,【特别提醒】 1.区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键与方法 (1)关键:看所选的元素与顺序是否有关. (2)方法:交换某两个元素的位置,判断对结果是否产生影响,产生影响的是排列问题,否则是组合问题.,2.与组合数相关的几个公式 (1) (全组合公式). (2) (3),【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-3P25练习T4改编)从3,5,7,11这四个质数中, 每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的 不同值的个数是 ( ) A.6 B.8 C.12 D.16,【解析】选C.由于lga-lgb=lg ,从3,5,7,11中取出两 个不同的数分别赋值给a和b共有 =12种,所以得到 不同的值有12个.,2.(选修2-3P28习题1.2A组T15改编)2015年北京国际田 联世界田径锦标赛,要从6名男生和2名女生中选出3名 志愿者,其中至少有1名女生的选法共有 ( ) A.30种 B.36种 C.42种 D.60种,【解析】选B.分两类:第1类:有1名女生的 有 =215=30种, 第2类有2名女生的有 =6种, 由分类加法计数原理得共有30+6=36(种).,感悟考题 试一试 3.(2016郑州模拟)有6名男医生、5名女医生,从中选 出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的 选法共有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种,【解析】选C.由题意,从6名男医生中选2人,5名女医生 中选1名组成一个医疗小组,不同的选法共有 =75种.,4.(2015广东高考)某高三毕业班有40人,同学之间 两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 【解析】依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相 当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了 =4039=1560条毕业留言. 答案:1560,5.(2014北京高考)把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种. 【解析】将产品A与产品B捆绑在一起,然后与其他三件 产品进行全排列,共有 种方法,将产品A,产品B,产 品C捆绑在一起,且产品A在中间,然后与其他两件产品,进行全排列,共有 种方法.于是符合题意的排法共 有 =36(种). 答案:36,考向一 排列的应用 【典例1】(1)有4名男生,5名女生,全体排成一行,则 甲不在中间也不在两端的排法有 种. (2)在数字1,2,3与符号“+”“-”这五个元素的所有 全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列方法共有 种.,【解题导引】(1)分两步进行:排甲;排其余8人. (2)由于题设中任意两个数字都不相邻,因此可用插空 法解决问题. 【规范解答】(1)分两步进行:第一步:先排甲有 种, 第二步,排其余8人有 种,由分步乘法计数原理,共 有 =241920(种)排法. 答案:241920,【一题多解】解答本题,还有以下三种解法: 方法一:中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余 6人有 种排法,故共有 =241920(种)排法. 方法二:9人全排列有 种,甲排在每一个位置的机会 都是均等的,依题意得,甲不在中间及两端的排法总数 是: =241920(种). 方法三:(间接法) -3 =241920(种).,(2)本题主要考查某些元素不相邻的问题,先排符号 “+”“-”,有 种排列方法,此时两个符号中间与 两端共有3个空位,把数字1,2,3“插空”,有 种排 列方法,因此满足题目要求的排列方法共有 =12(种). 答案:12,【母题变式】1.若本例题(2)中条件“任意两个数字都 不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”,则这样 的全排列方法有多少种? 【解析】用捆绑法,有 =36(种).,2.若本例(2)中条件变为:符号“+”与“-”都不相邻, 则这样的全排列有多少种? 【解析】 =72(种).,【规律方法】 1.求解有限制条件排列问题的主要方法,2.解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位置. (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类.,易错提醒:(1)分类要全,以免遗漏. (2)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后 元素的个数及要注意相邻元素的排列数. (3)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确.,【变式训练】(2016兰州模拟)数字“2015”中,各位 数字相加和为8,称该数为“如意四位数”,则用数字 0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意 四位数”有 个 ( ) A.21 B.22 C.23 D.24,【解析】选C.满足四位数字之和等于8的四个数字为 0,1,2,5或0,1,3,4. 0,1,2,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位 数”共有1+2+2+ =11(个); 0,1,3,4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位 数”共有2 =12(个);故共有23个.,【加固训练】 1.(2014四川高考)六个人从左至右排成一行,最左 端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共 有 ( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种,【解析】选B.若最左端排甲,排法有 =120种;若最 左端排乙,排法有 =96种,故不同的排法共有120+96=216种.,2.(2016兰州模拟)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如 果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排 法共有 ( ) A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 【解析】选B.由题意知有 =60(种).,3.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其 中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答).,【解析】可以分情况讨论:若末位数字为0,则1,2为 一组,且可以交换位置,3,4各为1个数字,共可以组成 2 =12个五位数;若末位数字为2,则1与它相邻, 其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2 =4个 五位数;若末位数字为4,则1,2为一组,且可以交换,位置,3,0各为1个数字,且0不是首位数字,则有2 (2 )=8个五位数,所以全部合理的五位数共有 24个. 答案:24,考向二 组合的应用 【典例2】(1)(2016太原模拟)将5名学生分到A,B,C 三个宿舍,每个宿舍至少1人,至多2人,其中学生甲不到 A宿舍的不同分法有 ( ) A.18种 B.36种 C.48种 D.60种,(2)(2016重庆模拟)2015年某地春季高考有10所高校 招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么录取方式有 种.,【解题导引】(1)三个宿舍的人数只能是2,2,1,分情况 讨论即可. (2)分两步进行:从10所高校选2所;从3位同学中选 2位选择2所学校.,【规范解答】(1)选D.由题意知A,B,C三个宿舍中有两 个宿舍分到2人,另一个宿舍分到1人.若甲被分到B宿舍: A中2人,B中1人,C中2人,有 =6种分法; A中1人,B中2人,C中2人,有 =12种分法; A中2人,B中2人,C中1人,有 =12种分法, 即甲被分到B宿舍的分法有30种,同样甲被分到C宿舍 的分法也有30种,所以甲不到A宿舍一共有60种分法.,(2)分两步进行:第1步从10所高校选2所有 种, 第2步:从3位同学中选2位选择2所高校,有 种, 由分步乘法计数原理得,录取方式共有 =270(种). 答案:270,【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)分类讨论时,极易少讨论一种或两种情况. (2)在每一种情况中,也可能少讨论一种或两种情况.,【规律方法】 1.组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型:一般有选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题等. (2)解题思路:分清问题是否为组合问题;对较复杂 的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是 先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个原理 化归为简单问题.,2.两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.,(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.,【变式训练】(2016长春模拟)如果小明在某一周的 第一天和第七天分别吃了2个水果,且从这周的第二天 开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种 可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小 明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 ( ) A.50种 B.51种 C.140种 D.141种,【解析】选B.因为第1天和第7天吃的水果数相同,所以 从这周的第二天开始后五天中“多一个”或“少一 个”的天数必须相同,所以后面五天中吃的水果个数 “多一个”或“少一个”的天数可能是0,1,2天,共三 种情况,所以共有 =51(种).,【加固训练】 1.(2016武汉模拟)6名同学安排到3个社区A,B,C参加 志愿者服务,每个社区安排2名同学,其中甲同学必须到 A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法 种数为 ( ) A.12 B.9 C.6 D.5,【解析】选B.当乙、丙中有一人在A社区时有 =6(种)安排方法;当乙、丙两人都在B社区时有 =3(种)安排方法,所以共有9种不同的安排方法.,2.(2014广东高考)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi -1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130,【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4, x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅 2个数为1或仅3个数为1,所以共有 =130个不同数组.,3.(2016石家庄模拟)如图,MON的边OM上有四点 A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3, A4,B1,B2,B3为顶点的三角形个数为 ( ) A.30 B.42 C.54 D.56,【解析】选B.用间接法.先从这8个点中任取3个点,最 多构成三角形 个,再减去三点共线的情形即可. =42.,4.(2015商丘模拟)某同学有同样的画册2本,同样的 集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本, 则不同的赠送方法共有 种.,【解析】从5本书中选出4本,可分为两种情况: 第一种情况为1本画册和3本集邮册, 第二种情况为2本画册和2本集邮册, 将它们分给4位朋友分别有 =4种, =6种方法, 故不同的赠送方法共有10种. 答案:10,考向三 排列、组合的综合应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:简单的排列与组合的综合问题 【典例3】(2016衡水模拟)从1,2,3,4,5这五个数字 中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有 2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数 有( ) A.51个 B.54个 C.12个 D.45个,【解题导引】分三种情况进行讨论:没有2,3;只有 2或3中的一个;2,3均有. 【规范解答】选A.分三类:第1类,没有2,3,由其他三个 数字组成三位数,有 (个); 第2类,只有2或3中的一个,需从1,4,5中选两个数字,可 组成 (个);,第3类,2,3均有,再从1,4,5中选一个, 因为2需排在3的前面.所以可组成 (个), 由分类加法计数原理得共有 =51(个).,命题方向2:分组、分配问题 【典例4】(2016忻州模拟)有5名优秀毕业生到母校 的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不 同分派方法种数为 ( ) A.150 B.180 C.200 D.280,【解题导引】分两步进行,将5名学生分成3组,再分配 到3个班去. 【规范解答】选A.第1步:将5名学生分成3组,有两种情 况,第一类:按3,1,1分组,有 种分法; 第2类:按2,2,1分组,有 种分法,由分类加法计数原 理得,共有 =25种不同的分组方式; 第2步:分配到3个班去,有 种分法,由分步乘法计数 原理得,共有 =256=150(种)不同的分配方法.,【技法感悟】 1.解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类. (2)对每一类型取出符合要求的元素组合,再对取出的元素排列. (3)由分类加法计数原理计算总数.,2.分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题. 对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的 顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复计数.,对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数. 对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.,(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.,【题组通关】 1.(2016珠海模拟)将红、黑、蓝、黄4个不同的小 球放入3个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,且红 球和蓝球不能放在同一个盒子,则不同的放法的种数 为 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36,【解析】选C.将4个小球放入3个不同的盒子,先在4个 小球中任取2个作为1组,再将其与其他2个小球对应3个 盒子,共有 =36种情况,若红球和蓝球放到同一个 盒子,则黑、黄球放进其余的盒子里,有 =6种情况, 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36-6=30 种.,2.(2016泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不 同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一 路口的分配方案共有 ( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.72种,【解析】选C.不同的分配方案可分为以下两种情况: 甲、乙两人在一个路口,其余三人分配在另外的两个 路口,其不同的分配方案有 =18(种); 甲、乙所在路口分配三人,另外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有 =18(种). 由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18+18=36(种).,3.(2016邢台模拟)将2名教师,4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 ( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种,【解析】选A.将4名学生均分为2个小组共有 =3种 分法; 将2个小组的同学分给2名教师共有 =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有 =2种 分法. 故不同的安排方案共有322=12种.,4.(2016兰州模拟)将5位志愿者分成3组,其中两组各 2人,另一组1人,分赴某运动会的三个不同场馆服务,不 同的分配方案有 种(用数字作答). 【解析】先将5位志愿者分成3组共有 种方法,再 分到三个不同场馆共有 种方法,所以不同的分配方 案有: =90种. 答案:90,【加固训练】 1.(2015上饶模拟)将甲、乙等5位同学分别保送到北 京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读,则每 所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 种 ( ) A.240 B.180 C.150 D.540,【解析】选C.将5名学生分成2,2,1或3,1,1两种形式, 当5名学生分成2,2,1时,共有 =90种结果, 当5名学生分成3,1,1时,共有 =60种结果, 所以根据分类加法计数原理知共有90+60=150(种).,2.(2014辽宁高考)6把椅子摆成一排,3人随机就座, 任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【解析】选D.(1)把三把空椅子排好留出四个空位. (2)在四个空位上排上三把椅子安排3人就座,因此 共有 种坐法.,
展开阅读全文