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章末复习提升,第一章 导数及其应用,栏目索引,要点归纳 主干梳理,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识网络 整体构建,知识网络 整体构建,返回,要点归纳 主干梳理,答案,f(x0),1.导数的运算及几何意义 (1)函数f(x)在xx0处的导数f(x0) ，f(x) . (2)导数的几何意义：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率等于 ，其切线方程为 . (3)函数的求导公式：(C) ，(xn) ， (sin x) ，(cos x) ，(ax) ， (ex) ，(logax) ，(ln x) .,yf(x0)f(x0)(xx0),0,nxn1,cos x,sin x,axln a,ex,答案,f(x)g(x)f(x)g(x),(4)导数的四则运算法则： f(x)g(x)f(x)g(x)， f(x)g(x) ，,2.导数的应用 (1)函数的单调性：在区间(a，b)内，f(x)0， 则 f(x) ；f(x)0，则 f(x) . (2)函数的极值：f(x0)0，在x0附近，从左到右，f(x)的符号由正到负，f(x0)为 ；由负到正，f(x0)为 .,递增,递减,极大值,极小值,答案,(3)函数的最值：闭区间a，b上图象连续不断的函数 yf(x)， 最值在 或 处取得， 最大的为最大值，最小的为最小值. (4)生活中的优化问题(导数的实际应用).,极值点,区间端点,3.定积分概念、运算和应用,F(b)-F(a),返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 解决与切线有关的问题,解析答案,例1 已知函数 f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线 yf(x)在点A处的切线斜率为1. (1)求a的值及函数 f(x)的极值；,解 由 f(x)exax，得 f(x)exa. 又 f(0)1a1，得a2. 所以 f(x)ex2x，f(x)ex2. 令f(x)0，得xln 2. 当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增. 所以当xln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4， f(x)无极大值.,解析答案,反思与感悟,(2)证明：当x0时，x2ex.,证明 令g(x)exx2， 则g(x)ex2x. 由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0. 故g(x)在R上单调递增， 又g(0)10， 因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.,反思与感悟,高考中求切线方程问题主要有以下两种类型： 类型1 求“在”曲线 yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型). 则点P(x0，y0)为切点， 当切线斜率存在(即函数 f(x)在x0处可导)时，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)； 当切线斜率不存在时，对应的切线方程为xx0. 类型2 求“过”曲线 yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程， 则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，,反思与感悟,即：设点A(x1，y1)是曲线 yf(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)； 根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线 yf(x)上，得到方程组 求出切点A(x1，y1)，代入方程 yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程.,跟踪训练1 已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；,解析答案,解 f(2)232166， 点(2，6)在曲线上. f(x)(x3x16)3x21， 在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)322113， 切线的方程为y13(x2)(6)， 即y13x32.,解析答案,(2)直线l为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.,解 设切点坐标为(x0，y0)，,又直线l过点(0,0)，,x02，y0(2)3(2)1626， k3(2)2113， 直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).,题型二 利用导数求参数取值范围问题,解析答案,解 函数 f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex). 若x0，则1ex0，所以 f(x)0； 若x0，则1ex0，所以 f(x)0； 若x0，则 f(x)0. f(x)在(，)上为减函数， 即 f(x)的单调减区间为(，).,(2)若当x2,2时，不等式 f(x)m恒成立，求实数m的取值范围.,解 由(1)知 f(x)在2,2上单调递减， f(x)minf(2)2e2. 当m2e2时，不等式 f(x)m恒成立.,解析答案,反思与感悟,利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 f(x)与其导数 f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f(x)； (2)若函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则 f(x)0恒成立； 若函数 f(x)在(a，b)上单调递减，则 f(x)0恒成立， 得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有 f(x)0.若 f(x)0恒成立， 则函数 f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.,反思与感悟,解析答案,解析答案,由题意知 f(x)0在(0，)上恒成立， ax2ln x10在(0，)上恒成立，,令x0 ，当x(0，x0)时，h(x)0，函数h(x)单调递增； 当x(x0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减. h(x)在x0 处取得最大值.,(2)若函数g(x)xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.,解析答案,解析答案,解 由题意知g(x)xf(x)ax2xlnx0，,即函数 ya与函数 y(x)的图象有唯一交点；,故当x(0,1)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递减； 当x(1，)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递增. 故(x)(1)1. 又当x0时，(x)， 而当x时，(x)0且(x)0， 可得如图所示的图象. 故满足条件的实数a的取值范围为a|a0或a1.,题型三 利用导数求函数的极值、最值问题,解析答案,因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0； 当x(2，)，f(x)0， 所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.,解析答案,(2)求 f(x)的单调区间；,所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).,解析答案,反思与感悟,所以g(x)在x(1，)上是增函数，,有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.,反思与感悟,解析答案,解析答案,(2)求函数 yf(x)在2,1上的最大值与最小值.,解 x在变化时，f(x)及 f(x)的变化情况如下表：,解析答案,解实际问题时因忽略定义域致误,例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,返回,防范措施,易错易混,令y0，解得x40或x40(舍去). 当0x40时，y0； 当x40时，y0.,解析答案,防范措施,故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.,错因分析 解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.,解析答案,防范措施,令 y0，解得x40或x40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35， 所以函数在定义域内没有极值. 又当0x35时，y0，,故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.,防范措施,正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.函数 f(x)(2x)2的导数是( ) A. f(x)4x B. f(x)42x C. f(x)82x D. f(x)16x,解析 因 f(x)42x2， 故 f(x)82x，选C.,C,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数 f(x)xex的一个单调递增区间是( ) A.1,0 B.2,8 C.1,2 D.0,2,A,解析答案,令 f(x)0, 得x1，故增区间为(，1)， 又因1,0(，1)，故选A.,1,2,3,4,5,解析 由st35t24t0， 得t(t25t4)0，t(t1)(t4)0，t10，t21，t34， 即t0或1或4时，速度为0.,解析答案,0或1或4,1,2,3,4,5,解析答案,4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的长、宽、高分别为 时，其体积最大.,1,2,3,4,5,解析 设长、宽、高分别2x，x，h，,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解 由 f(x)x3ax2bxc， 得 f(x)3x22axb. 由题意，当x1时，切线的斜率为3，可得2ab0. ,可得4a3b40. 由解得a2，b4， 由于切点横坐标为1，f(1)4， 1abc4，c5. 故a2，b4，c5.,1,2,3,4,5,(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.,解析答案,1,2,3,4,5,课堂小结,返回,1.可导函数 f(x)在x0处取得极值的充分必要条件是 f(x0)0且 f (x)在x0两侧的符号不同，f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件，函数极值是一个局部概念，求极值时经常把 f(x)0的点附近函数值的变化情况列成表格. 2.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用 f(x)a恒成立 f(x)maxa和 f(x)a恒成立 f(x)mina的思想解题.存在或有解问题，如 f(x)a有解af(x)min和 f(x)a有解af(x)max成立.,
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