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第一章 3 全称量词与存在量词,3.3 全称命题与特称命题的否定,1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称命题与特称命题的否定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 全称命题的否定 全称命题p：任意xM，p(x)， 它的否定綈p： . 知识点二 特称命题的否定 特称命题p：存在x0M，p(x0)， 它的否定綈p： . 知识点三 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是 命题. 特称命题的否定是 命题.,答案,特称 全称,存在x0M，綈p(x0),任意xM，綈p(x),答案,返回,思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”. (2)对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.,题型探究 重点突破,题型一 全称命题的否定 例1 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； 解 是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)任意a，bR，方程axb都有惟一解； 解 是全称命题，其否定：存在a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.,解析答案,反思与感悟,全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)任何实数x都是方程5x120的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根. (4)对任意实数x，x210. 解 綈p：存在实数x0，使得 10.,题型二 特称命题的否定 例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：存在x1，使x22x30； 解 綈p：任意x1，x22x30.(假). (2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：存在x0M，p(x0)成立綈p：任意xM，綈p(x)成立.,解析答案,跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.,解析答案,题型三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由； 解 不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可. 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,解析答案,反思与感悟,(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围. 解 不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4. 所求实数m的取值范围是(4，). 反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.,解析答案,跟踪训练3 已知f(x)3ax26x1(aR). (1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0； 证明 当a3时，f(x)9x26x1， 364(9)(1)0， 对任意xR，都有f(x)0.,解析答案,返回,(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围. 解 f(x)4x恒成立， 3ax22x10恒成立，,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命题是( ) A.存在实数m，使方程x2mx10无实数根 B.不存在实数m，使方程x2mx10无实数根 C.对任意的实数m，方程x2mx10无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2mx10有实数根 解析 命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实数根.,C,1,2,3,4,5,解析答案,2.设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：任意xA,2xB，则( ) A.綈p：任意xA,2xB B.綈p：任意xA,2xB C.綈p：存在xA,2xB D.綈p：存在xA,2xB 解析 命题p：任意xA,2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为存在xA,2xB，选D.,D,1,2,3,4,5,3.对下列命题的否定说法错误的是( ) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D.p：存在nN，2n100；綈p：任意nN，2n100. 解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.,解析答案,C,1,2,3,4,5,解析答案,4.命题“任意x0，)，x3x0”的否定是( ) A.任意x(，0)，x3x0 B.任意x(，0)，x3x0 C.存在x00，)， x00 D.存在x00，)， x00 解析 全称命题的否定是特称命题. 全称命题：任意x0，)，x3x0的否定是特称命题：存在x0 0，)， x00.,C,1,2,3,4,5,解析答案,5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_. 解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.,有的向量与零向量不共线,课堂小结,返回,1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.,
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