2019-2020年高中数学《任意角的三角函数》教案2苏教版必修4.doc

2019-2020年高中数学任意角的三角函数教案2苏教版必修4【三维目标】：一、知识与技能1. 会用角的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围）。二、过程与方法1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；2.在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.三、情感、态度与价值观1. 激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.2.通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间【教学重点、难点与关键】：重点：三角函数线的作法及其简单应用（利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来）.难点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值关键：掌握有向线段及其数量的概念是克服难点的关键【学法与教学用具】：1教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”科研式教学.2学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3教学手段：本节课教学地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.4. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1. 前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。特别地, 当r =1时，,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题. 二、研探新知 1基本概念（1）单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。（2）有向线段：带有方向的线段.坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点.如：有向线段，为起点，为终点，由点指向点.OM （动态演示）数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值.如： = 1, = -1, = 当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；第三步：过点(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点为定点（1，0）.【说明】：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1.利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：（1）与 （2）tan与tan （3）cot与cotABoT2T1 S2 S1P2P1 M2 M1 S1 解： 如图可知：tan tan，cot cot例3 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：（1） ; （2）- . xyoP1P2分析：先作出满足，的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.（几何画板动态演示）答案：（1）.（2）【延伸】：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得出不等式组的解集：.观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明你的观点和理由，并发表于教育论坛。学生得出的结论有以下几种：(1) sin2 + cos2 = 1； (2)sin + cos 1；(3) -1sin1, -1cos1, tanR；(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;(6) 当角的终边在直线的右下方时, sincos；当角的终边在直线的左上方时, sincos。【触类旁通】：利用三角函数线写符合下列条件的角的集合：（1） （2）四、巩固深化，反馈矫正 1.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：（1） （2） （3） 2.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：（1） （2）五、归纳整理，整体认识1三角函数线的定义；会画任意角的三角函数线2利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 3.三角函数线的应用 六、承上启下，留下悬念 1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）； （5）452利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）tana （3）；（4）且； （5）且答案：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）3类比正切线的作法，你能作出余切线吗？4结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上交流.5.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流.七、板书设计（略）八、课后记： gkxx