资源描述
2.8 函数与方程,考纲要求:结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,1.函数的零点 (1)函数的零点的概念:函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理:若函数y=f(x)的闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系,2,3,4,1,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). ( ) (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在当b2-4ac0时没有零点. ( ) (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)f(b)0. ( ) (4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. ( ) (5)函数f(x)=kx+1在1,2上有零点,则-1k- . ( ),2,3,4,1,2.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( ),答案,解析,2,3,4,1,3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围是( ) A.(-2,6) B.-2,6 C.-2,6 D.(-,-2)(6,+),答案,解析,2,3,4,1,4.(2015广东茂名一模)下列函数中,在(-1,1)内有零点且递增的是( ),答案,解析,2,3,4,1,自测点评 1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标. 2.“连续函数在一个区间端点处的函数值异号”是“这个函数在这个区间上存在零点”的充分条件,而不是必要条件. 3.若函数y=f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,则f(x)在a,b上只有一个零点.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1判断函数零点所在的区间 例1(1)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015西安模拟)函数 的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与(2,3),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些? 解题心得:判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图像是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)已知函数 ,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)函数 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间1,8上 零点.(填“存在”或“不存在”),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2判断函数零点的个数 例2(1)(2015广州模拟)函数 的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)函数 的零点个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:判断函数零点个数的常用方法有哪些? 解题心得:判断函数零点个数的方法: (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)函数f(x)=sin(cos x)在区间0,2上的零点个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015北京丰台二模)函数 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3函数零点的应用 例3已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1, (1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,作出g(x)=x+ (x0)的大致图像. 因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以f(x)的图像的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围常用的方法有哪些? 解题心得:已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 已知函数 若关于x的方程f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.函数零点的判定常用的方法: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.,
展开阅读全文