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2.4 二次函数性质的再研究与幂函数,考纲要求:1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3, 的图像,了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.,1.二次函数 (1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫作二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,(3)二次函数的图像和性质,2.幂函数 (1)幂函数的定义:如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即y=x,这样的函数称为幂函数. (2)常见的5种幂函数的图像,(3)常见的5种幂函数的性质,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2.(2015广东湛江二模)若关于x的方程x2+mx+ =0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-2,2),答案,解析,2,3,4,1,5,3.函数 的图像是( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( ) A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增,答案,解析,2,3,4,1,5,5.已知幂函数y=f(x)的图像过点 , 则此函数的解析式为 ;在区间 上递减.,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.幂函数的图像最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四象限.至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.幂函数y=x的系数为1,系数不为1的都不是幂函数,当0时,在(0,+)上都是增加的,当0时,在(0,+)上都是减少的,而不能说在定义域上是增加的或减少的. 3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a0,当题目条件中未说明a0时,就要讨论a=0和a0两种情况;二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关,不能盲目利用配方法得出结论. 4.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1幂函数的图像与性质 例1(1)(2015湖北孝感调研)函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x(0,+)上是增加的,则实数m的值是( ) A.-1 B.2 C.3 D.-1或2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)若 ,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.cab C.bca D.bac,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)已知幂函数f(x)的图像经过点(2, ),且f(2m+1)f(m2+m-1),则m的取值范围是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?,解题心得:1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+)上都有定义,幂函数的图像过定点(1,1). (2)当0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上是增加的. (3)当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)已知幂函数 (nZ)的图像关于y轴对称,且在(0,+)上是减少的,则n的值为( ) A.-3 B.1 C.2 D.1或2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015安徽安庆三模)若 ,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2求二次函数的解析式 例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解法三:(利用交点式) 由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8, 所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式? 解题心得:根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图像与x轴两交点坐标,宜选用交点式.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3二次函数的图像与性质(多维探究) 类型一 二次函数的最值问题 例3设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为g(x),求g(x). 思考:如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型二 与二次函数有关的存在性问题 例4(2015河北衡水模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 . 思考:如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型三 二次函数中恒成立问题 例5已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,则实数a的取值范围为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么? 解题心得:1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值. 2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0a,b,使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在a,b上的取值范围是f(x0)在a,b上的取值范围的子集,即,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为( ) A.0,1 B.1,2 C.(1,2 D.(1,2),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1时有最大值2,则a的值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.幂函数y=x(R)的图像的特征: 当0时,图像过原点和点(1,1),在第一象限图像上升; 当0时,图像过点(1,1),但不过原点,在第一象限图像下降. 2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表达式. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,则交点一定是原点. 2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时,就要分a=0和a0两种情况讨论.,
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