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(理)第5节 数学归纳法,.了解数学归纳法的原理 .能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,整合主干知识,数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当nk (kN*，kn0)时命题成立，推出当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立上述证明方法叫做数学归纳法,nk1,质疑探究2：数学归纳法两个步骤有什么关系？ 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误 (1)第一步中， 验算nn0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等 (2)第二步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧,解析：观察等式左边的特征易知选C. 答案：C,解析：因为假设nk(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k2. 答案：B,解析：从n到n2共有n2n1个数， 所以f(n)中共有n2n1项 答案：D,4凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_. 解析：易得f(k1)f(k). 答案：,答案：2k,聚集热点题型,用数学归纳法证明等式,拓展提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几； (2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明,用数学归纳法证明不等式,拓展提高 (1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有放缩法；利用均值不等式法；作差比较法等,典例赏析3 用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n为正整数 思路索引当nk1时，把42(k1)13k3配凑成42k13k2的形式是解题的关键 证明 (1)当n1时，421131291能被13整除(2)假设当nk时，42k13k2能被13整除，则当nk1时，,用数学归纳法证明整除性问题,方法一 42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)， 42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除 方法二 因为42(k1)13k33(42k13k2) (42k1423k23)3(42k13k2) 42k113， 42k113能被13整除， 42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除， 当nk1时命题也成立， 由(1)(2)知，当nN*时，42n13n2能被13整除,拓展提高 用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,变式训练 3已知n为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1整除 证明：(1)当n1时，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除 (2)假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么当nk1时，ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除,即当nk1时命题也成立 根据(1)(2)可知，对于任意nN*，an1(a1)2n1能被a2a1整除,思路索引关键是搞清nk到nk1时对角线增加的条数，看顶点的变化可知对角线的变化从而可解 证明 因为三角形没有对角线， 所以n3时，f(3)0，命题成立,用数学归纳法证明几何问题,拓展提高 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实 上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.,变式训练 4平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分 证明：(1)当n1时，n2n21122，而一圆把平面分成两部分，所以n1命题成立 (2)设nk时，k个圆分平面为k2k2个部分，则nk1时，第k1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分对nk1也成立,由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2n2个部分,备课札记 _,提升学科素养,(理)归纳、猜想、证明,审题视角 (1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明 (2)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证,温馨提醒 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 (2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值,1一种方法 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据 2两点注意运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值 (2)由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要归纳假设，否则就不是数学归纳法,
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