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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,可写成“若p,则q”的形式.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系,3.充分、必要条件的概念,4.充分、必要条件与集合之间的包含关系,5.常用的数学方法与思想 集合法、转化化归思想.,1.判断下列说法是否正确(打“”或“”). (1)语句“2a+10”是命题.( ) (1) (2)语句“20162015”是真命题.( ) (2) (3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”.( ) (3) (4)已知集合A,B,则AB=AB的充要条件是A=B.( ) (4),2.(2015湖南高考)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.C 【解析】由交集运算及子集的概念知,若AB=A,则AB,若AB,则AB=A,故为充要条件.,典例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)矩形的对角线相等; (2)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根; (3)若x2+y2=0,则实数x,y全为零. 【解题思路】对于(1),要从矩形的对角线的性质去着手;对于(2),要从方程根的存在性去判断;而对于(3),要从实数的平方不小于0的角度去着手. 【参考答案】(1)逆命题:对角线相等的四边形是矩形.假命题. 否命题:有一些矩形的对角线不相等.假命题. 逆否命题:对角线不相等的四边形不是矩形.真命题. (2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1.假命题. 否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根.假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1.真命题. (3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0.真命题. 否命题:若x2+y20,则实数x,y不全为零.真命题. 逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y20.真命题.,【变式训练】 (2015成都一诊)已知命题p:“若xa2+b2,则x2ab”,则下列说法正确的是( ) A.命题p的逆命题是“若xa2+b2,则x2ab” B.命题p的逆命题是“若x2ab,则xa2+b2” C.命题p的否命题是“若xa2+b2,则x2ab” D.命题p的否命题是“若xa2+b2,则x2ab”,典例2 (2015天津高考)设xR,则“|x-2|0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题思路】由|x-2|0得x1,故“|x-2|0”的充分不必要条件. 【参考答案】 A,【变式训练】,(2015厦门期末考试)已知mR,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+)上为减函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】当mR,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-10,解得m1.而“函数y=logmx在(0,+)上为减函数”时必有0m1,因此mR,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+)上为减函数”的必要不充分条件,即选项B正确.,【变式训练】,判断充分必要条件的常用方法探究 1.定义法:若pq为真,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.,典例1 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s是q的什么条件?r是q的什么条件?p是q的什么条件? 【解题思路】p,q都是r的必要条件可表示为rp,rq,s是r的充分条件可表示为sr,q是s的充分条件,可表示为qs.由传递性可知sq,故s是q的充要条件,由传递性可知qr,故r是q的充要条件;由传递性可知p是q的必要条件. 【参考答案】s是q的充要条件,r是q的充要条件,p是q的必要条件.,2.等价命题判断法:利用原命题与其逆否命题等价,当原命题不太好求解时,可利用其等价命题来求解.,典例2 判断命题:“如果方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则a1”的真假. 【解题思路】原命题的等价命题为“如果a1,则方程ax2+2x+1=0没有负实根”,因为a1时,=4-4a0,所以方程ax2+2x+1=0没有负实根,即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真.,3.直观图象判断法:利用韦恩图(或数轴)判断.,图(1)表示p是q的充分不必要条件;图(2)表示p是q的必要不充分条件;图(3)表示p是q的充要条件;图(4)与图(5) 表示p是q的既不充分又不必要条件.,【针对训练】,1.已知p:|x+1|3,q:xa,且p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是 ( ) A.(-,2 B.2,+) C.(2,+) D.(-,4 1.B 【解析】|x+1|3,x+13或x+12或xa.p是q的必要不充分条件,BA,a2.,2.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-,+)上单调递增,q:函数g(x)=x2-4x+3m的最小值大于0,则p是q的 条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”),
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