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最新考纲 1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理,第2讲 直线与圆,1圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 定理：圆上一条弧所对的_等于它所对的_的一半 推论：()推论1：_所对的圆周角相等；_中，相等的圆周角所对的_也相等 ()推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_ (2)圆心角定理：圆心角的度数等于_,知 识 梳 理,圆周角,圆心角,同弧或等弧,同圆或等圆,弧,直角,直径,它所对弧的度数,2弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它_所对的圆周角 3圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线_经过_的半径 (2)推论： 推论1：经过_且垂直于切线的直线必经过_ 推论2：经过_且垂直于切线的直线必经过_,所夹的弧,垂直于,切点,圆心,切点,切点,圆心,4与圆有关的比例线段,PCPD,BDP,PCPD,PDB,PBPC,PCA,PB,OPB,5. 圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 定理1：圆内接四边形的对角_ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的_ (2)圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理：如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点_ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形的四个顶点_,互补,内角的对角,互补,共圆,对角,共圆,1. 如图，ABC中，C90， AB10，AC6，以AC为直径的 圆与斜边交于点P，则BP长为 _ 解析 连接CP.由推论2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4. 答案 6.4,诊 断 自 测,答案 50,3(2014陕西卷)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_ 答案 3,4. (2015广州调研)如图，四边形ABCD 内接于O，BC是直径，MN与O 相切，切点为A，MAB35， 则D_ 解析 连接BD，由题意知， ADBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125. 答案 125,5如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径r_ 解析 设O的半径为r(r0)， PA1，AB2，PBPAAB3. 延长PO交O于点C， 则PCPOr3r. 设PO交O于点D，则PD3r. 由圆的割线定理知，PAPBPDPC，,考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题 【例1】 如图所示，O的直径为6，AB 为O的直径，C为圆周上一点，BC 3，过C作圆的切线l，过A作l的垂 线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求DAC的度数； (2)求线段AE的长 解 (1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30， 由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30， 由DCAACBBCF180，又ACB90， 知DCA60，故在RtADC中，DAC30.,(2)法一 连接BE，如图1所示，EAB60CBA，AB为公共边，则RtABERtBAC，所以AEBC3. 图1 图2,法二 连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30， 又因为CAB30，故ECACAB，从而ECAO， 由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OAOC，故四边形AOCE是菱形，故AEAO3.,规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角,【训练1】 如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：ABEADC； (1)证明 由已知条件，可得BAECAD. 因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角 所以AEBACD. 故ABEADC.,考点二 与圆有关的比例线段 【例2】 如图，PA切O于点A，割线 PBC交O于点B，C，APC的角 平分线分别与AB、AC相交于点D、 E，求证： (1)ADAE； (2)AD2DBEC. 证明 (1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分线，故EPCAPD.又PA是O的切线，故CPAB. 所以AEDADE.故ADAE.,规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理,【训练2】 (2013天津卷)如图，ABC 为圆的内接三角形，BD为圆的弦， 且BDAC.过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于 点F.若ABAC，AE6，BD5， 则线段CF的长为_ 解析 由切割线定理得AE2EBED，解得EB4. 因为ABAC，所以ABCACBADB. 由弦切角定理得EABEDA， 所以EABABC，则AEBC，,考点三 圆内接四边形的判定及应用 【例3】 (2015银川一中月考)如图， 已知AP是O的切线，P为切点， AC是O的割线，与O交于B、 C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 (1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求OAMAPM的大小 (1)证明 连接OP，OM，因为AP 与O相切于点P，所以OPAP. 因为M是O的弦BC的中点， 所以OMBC，,于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆 (2)解 由(1)得A、P、O、M四点共圆， 所以OAMOPM， 由(1)得OPAP， 因为圆心O在PAC的内部， 所以OPMAPM90， 所以OAMAPM90.,规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,【训练3】 如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点 (1)求证：B，D，H，F四点共圆；,(1)证明 因为AB为圆O的一条直径，所以AFB90， 所以BFH90. 又DHBD，所以HDB90， 所以BFHHDB180， 所以B，D，H，F四点共圆,
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