2019-2020年高中数学 知识模板复习讲义 相似变换与位似变换 苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 知识模板复习讲义 相似变换与位似变换 苏教版必修5一、似变换的概念 显然，相似变换就是将一个图形放大或缩小（即改变图形的大小而保留形状不变）；再改变它在平面上的位置。 当相似比k=1时,相似变换就是合同变换.所以说,合同变换和恒等变换都是相似变换的特例. 2. 相似变换的性质性质1 在相似变换下,直线、射线、线段、角、三角形、多边形和圆的像仍分别是直线、射线、线段、角、三角形、多边形和圆。证明（这里仅证直线的像仍是直线，其他仿此证明）。性质3 在相似变换下，不改变角的大小。性质4 在相似变换下，平行性是图形的不变性质。 性质7 平面上的所有相似变换构成一个群M,这个群M叫做相似群(或称为度量群). 事实上,由于恒等变换是相似变换,加之上述性质5和性质6,可知M构成一个群. 显然,合同变换群W是相似变换群M的一个子群. 相似形就是在相似群下的不变图形. 共线点的简单比和保角(指两直线的交角角度不变),是相似群下的两个基本不变量. 相似变换由不共线的三对对应点(或一对对应的相似三角形)所确定.也就是说,如果已知 定义 若相似变换之对应三角形定向相同,则叫做第一种相似变换,或称为真正相似变换. 易知, 真正相似变换构成一个群, 它是相似群的子群. 定义 若相似变换之对应三角形定向相反,则叫做第二种相似变换,或称为镜照相似变换.易知, 镜照相似变换不构成群.相似变换的应用 相似变换的特点是:可以改变图形的位置和大小,而不改变其形状. 这是利用相似变换来解题的理论依据. 当题设和结论所涉及的几何元素比较分散, 不易发现它们之间的关系时,可以选用适当的相似变换, 把图形按所需的大小比例给予放大或缩小之后, 转移到适当的位置上, 使已知条件和结论重新组合, 构成相似形, 从而使元素之间产生直接的联系, 以便于引用已知的定理去解题. 应用相似变换解题, 关键在于如何构造相似形.位似变换1.位似变换的概念如果每一个相似变换, 它的任意一对对应点A, A的连线都通过一个定点,则称这种相似变换为位似变换. 位似变换H(O,k),满足如下三个条件. 反之, 如果一个一一变换H, 满足以下三个条件,它就是位似变换: 显然, 一个位似变换由其位似中心和位似比确定,或由其一对对应点及位似中心(或位似系数)确定. k=1的位似变换是恒等变换,k=-1的位似变换是点反射.2.位似变换的性质由性质1知,位似变换必为相似变换, 因此, 它具有相似变换的一切性质.性质3 非恒等的位似变换只有一个二重点, 即位似中心.性质4 位似变换有无穷多条二重直线, 它们都通过位似中心, 也就是说, 位似变换把通过位似中心的直线变换成自身.性质5 位似变换把不经过位似中心的直线(或线段)变换成与其平行的直线(或线段), 当k0时, 对应直线同向平行(如左下图); 当k0时, 对应直线反向平行(如右下图)性质6 两个位似变换的乘积, 是一个位似变换或是一个平移. 由性质6知道, 平面上一切位似变换得全体, 不能构成一个群. 定理7 给出三个位似变换(非恒等变换), 如果其中一个是另外两个得乘积, 那么这三个位似中心必共线. 事实上, 由性质6的证明就可以推出定理7, 从而可知, 如果三个图形彼此相位似, 那么这三个位似中心共线. 定义 三个彼此相位似的图形, 其三个位似中心所在的直线叫做这三个图形的位似轴.定理8 以同一点为中心的位似变换的全体所组成的集合H构成一个群. 这个群叫做位似群, 它是相似群M的一个子群.事实上, 恒等变换也是位似变换, 由上述性质(2)和性质6(1)可知本定理的正确性.3. 位似变换的判定 (2) 当两个多边形的对应边同向平行时, 这两个多边形位于点O同侧, 仿(1)可证, 命题也是成立的. 显然, 定理9和定理11都可以推广到n边形.位似变换的应用 位似变换的特点是: 可以改变的图形的位置和大小, 而不改变它的形状, 这是应用位似变换来解题的理论依据. 当题设和结论所涉及的几何元素比较分散,不易发现它们之间的关系时, 可以选用适当的位似变换, 把图形按所需的大小比例, 给予放大和缩小之后, 转移到适当的位置上, 使已知条件和结论重新组合, 构成位似形, 从而使元素之间产生直接联系, 以便引用已知的定理去解题. 位似变换的性质之一是: 位似形的对应顶点连线, 通过位似中心, 这也是应用位似变换来解题的理论依据. 因此, 证明点共线或线共点的命题, 可以通过位似变换来实现. 应用位似变换解题的关键, 在于选择适当的位似中心和位似比.