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第二节 拉氏变换,设函数f(t)满足： 1. f(t)实函数； 2. 当t0时 ， f(t)=0； 3. 当t0时, f(t)在每个区间上是分段连续的 3. f(t)的积分 在s的某一域内收敛，s为复变数,一、拉氏变换的定义,则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=+j（，均为正实数）；,F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。,（29）,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,称为收敛因子。,积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变函数F(s)。,用符号L-1 表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。,（210）,（211）,阶跃函数的拉氏变换,二、 典型函数的拉氏变换,（212）,单位速度函数的拉氏变换,（213）,幂函数 拉氏变换（法1）,根据函数,则,令,（214）,幂函数的拉氏变换（法2）,（215）,单位加速度函数拉氏变换,（216）,单位脉冲函数拉氏变换,（217）,指数函数的拉氏变换,（218）,例2-1：求解函数,的拉氏变换,三角函数的拉氏变换,（219）,（220）,例2-2：求解函数,的拉氏变换,高等函数初等函数,指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数,典型函数的拉氏变换小结,例2-3：求解函数,的拉氏变换,三、拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,LK(1-e-at),=LK -LKe-at,结论： 由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,例2-4：求以下函数的拉氏变换：,f(t)=K(1-e-at),微分定理,原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式,多重微分,（221）,解：（1）,例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：,（1）f(t)=cos(t) （2）f(t)=(t),（2）,由于 (t)=d(t)/dt,=1,f(t)=(t),=,s,-,0,积分定理,多重积分,（222）,例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数,解：f(t)=t,Lf(t)=,衰减定理（复位移定理）,（223）,例2-7：求 的拉氏变换,解：直接用复位移定理得：,求 的拉氏变换？,原函数平移 像函数乘以 e-s,延时定理（实位移定理）,（224）,T,例2-8：求f(t)的象函数,解：,f(t)=,=A(t),A,-A(t-T),Lf(t)=,A/s-,A/s ,e-sT,f (t)+ f (t),例2-9：求图所示三角波的拉氏变换,从图可知，三角波左边函数斜率为 ，右边函数斜率为 ，则分段函数可表示为：,终值定理,（225）,初值定理,（226）,卷积定理,（227）,证：令,则,再令,则,尺度变换定理,（228）,复数域积分定理,证：,（229）,例2-10：求如下函数的拉氏变换,证：,复数域微分定理,推论：,（230）,例2-11：求如下函数的拉氏变换,例2-12：已知因果函数f(t)的象函数,求 的象函数,解：由于,利用实位移定理,由尺度变换定理,由复位移定理,练 习,练习2-1：求如下函数的拉氏变换,练习2-2：求如下函数的拉氏变换,练习2-3：求如下函数的拉氏变换,练习2-4：求如下函数的拉氏变换,练习2-5：求如下函数的拉氏变换,练习2-6：求如下函数的拉氏变换,练习2-7：求如下函数的拉氏变换,练习2-8：求如下函数的拉氏变换,练习2-9：求如下函数的拉氏变换,练习2-1：求如下函数的拉氏变换,练习2-2：求如下函数的拉氏变换,练习2-3：求如下函数的拉氏变换,练习2-4：求如下函数的拉氏变换,练习2-5：求如下函数的拉氏变换,练习2-6：求如下函数的拉氏变换,练习2-7：求如下函数的拉氏变换,练习2-8：求如下函数的拉氏变换,练习2-9：求如下函数的拉氏变换,
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