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第二章 数列 2.2 等差数列,我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5，_，_,. ,复习回顾,水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位而组成数列(单位：m): 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ,上面两个数列有一个共同特点： 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数.,定义中的光键词是什么?,一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差等于同一常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.,一、 等差数列定义,判定题：下列数列是否是等差数列？,. 9, 7, 5, 3, , -2n+11, ; . -1, 11, 23, 35, , 12n-13, ; . 1, 2, 1, 2, ; . 1, 2, 4, 6, 8, 10, ; . a, a, a, a, , a, ;,课堂练习：,由等差数列的定义知an-an-1=d， 当d0时,anan-1，则为递增数列； 当d=0时,an=an-1，则为常数列； 当d0时,anan-1，则为递减数列.,注意公差d：一定是由后项减前项所得.,二、等差中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 , , 4 （2）-1, , 5 （3）-12, , 0 （4）0, , 0,3,2,-6,0,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.,一般地，如果等差数列 的首项是 公差是 ，我们根据等差数列的定义，可以得到,所以,因此，,三、等差数列通项公式,还可以用累加法得到等差数列通项公式：,一般地，如果等差数列 的首项是 公差是 ，我们根据等差数列的定义，可以得到,累加得：,例1 （1）求等差数列8，5，2，的第20项. （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？ 如果是，是第几项？,五、运用通项公式解题,1、求某一项或项数,例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元， 即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出 租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要 支付多少车费？,解：根据题意，该市出租车的行程大于或等于4km时， 每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立 一个等差数列 来计算车费.,令 ，表示4km处的车费，公差 .那么， 当出租车行至14km时， _，,此时需要支付车费 (元).,答：需要支付车费23.2元.,六、实际应用举例,例3 已知数列 的通项公式为 其中 为常数，那么这个数列是等差数列吗？,分析：判定 是否为等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是说 是不是一个与 无关的常数.,解：取数列 中的任意相邻两项 与 ，求差得,它是个与 无关的常数，所以 是等差数列.,七、等差数列的证明,练习1 在等差数列an中, (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20;,(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8.,解： (1)由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.,(2) a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15.,（1）求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第4项和第10项. （2）100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？ 如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （3） -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由.,练习2：,解： （1） a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39,（2） a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项.,（3） a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解， -20不是该数列的项.,在等差数列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d . （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .,练习3：,解： （1）由题意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 .,（2）由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 . an=11-1（n-1）=12-n. a12= 12-12 =0.,小结,1、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等概念.,2、掌握等差数列通项公式的一般形式：,3、已知等差数列通项公式中的任意三个量，能用通项公式，求另外一个量.,4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.,5、会用定义证明某个数列是等差数列.,
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