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第2课时 函数的最大值、最小值,1.通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。,2.会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。,3.了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。,观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。,最低点的坐标是（0，0）,最高点的坐标是（0，0）,如何使用函数的解析式和数学语言 刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？,最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值。当函数图象没有最低点时我们说这个函数没有最小值。,函数图象最低点的数的刻画：函数图象在最低点处 的函数值是函数在整个定义域上最小的值。对于函 数 而言，即对于函数定义域中任意的 ，都有 .,函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处 的函数值是函数在整个定义域上最大的值。对应函数 而言，即对于任意的 ，都有,函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。,探究点1 函数最大（小）值的数的定义,函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。,请同学们仿此给出函数最小值的定义,函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意是 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。,探究点2 对函数最值的理解,1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得 。并不是满足所有满足 的函数 都有最大值。如函数 ,虽然对定义 域上的任意自变量都有 ，但不存在自变量使得函 数值等于1.,2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。,探究点3 例题解析,例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期 望它在达到最高点爆裂。如果烟花离地面的高度h m与时 间t s之间的关系为 ，那么烟花 冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多 少（精确到1 m）？,分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少。,显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点的纵坐标就是距地面的高度。,解：画出这个函数,根据二次函数的知识，对于函数 我们有：,于是，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.,例4.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。,【分析】这个函数在区间2,6上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间2，6上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。,【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分，证明函数在2，6上是减函数，求这个函数的最大值和最小值。,解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,所以，函数 是区间2,6上的减函数。,因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.,1.求函数 在区间-1,3的最大值和最小值。,【提示】证明函数在区间-1,3上是增函数。,【答案】最大值是9，最小值是-3.,2.求函数 在区间-1,3上的最大值和最小值。,【提示】根据二次函数的性质，函数在区间-1,0上是减函数，在区间(0,3上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的。,【答案】最大值9，最小值0.,对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值,3.求函数 在区间0,2上的最大值和最小值。,【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k0时函数是一次函数，再根据k0,k0时函数的单调性进行解答。,【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.,4.求函数 在区间0,4上的最小值。,【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界 点。根据二次函数的对称轴和区间0,4的关系，分 a4,结合函数的单调性解决。画出不 同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路。,【答案】,5.周长为12的矩形的面积的最大值是多少？,【提示】以x表示矩形的一边长，根据周长也可以用x表示矩形的另外一边长，这样就建立起了矩形的面积关于x的函数。,【答案】设矩形的一边长为x,另外一边长为6-x，矩形 的面积y=x(6-x)= ,当x=3时矩形的面积最 大，最大值是9.,1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质。,2.具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的单调性恰好相反，这是函数的单调性和最值的关系。,3.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性。,4.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况解决，画出函数的图象有利于问题的解决。,在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。 亚里士多德,
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