资源描述
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.四种命题及相互关系,知识梳理,若q，则p,若綈p，则綈q,若綈q，则綈p,2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的 条件，同时q是p的 条件； (2)如果pq，但qp，则p是q的 条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的 条件； (4)如果qp，且pq，则p是q的 条件； (5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.,相同,充分,必要,充分不必要,充要,必要不充分,从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若AB，则p是q的充分条件； (2)若AB，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A肟B，则p是q的既不充分也不必要条件.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“x22x30”是命题.( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( ) (6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( ),1.下列命题中为真命题的是 A.命题“若xy，则x|y|”的逆命题 B.命题“若x1，则x21”的否命题 C.命题“若x1，则x2x20”的否命题 D.命题“若x20，则x1”的逆否命题,考点自测,答案,解析,对于A，其逆命题是若x|y|，则xy，是真命题， 这是因为x|y|y，必有xy.,2.(教材改编)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是 A.若xy，则x2y2 D.若xy，则x2y2,答案,解析,根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2， 则xy”的逆否命题是“若xy， 则x2y2”.,3.(教材改编)“(x1)(x2)0”是“x1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,由(x1)(x2)0可得x1或x2， 11，2， “(x1)(x2)0”是“x1”的必要不充分条件.,4.(2016北京)设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若|a|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形， ab，ab表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等， 所以|ab|ab|不一定成立； 反之，若|ab|ab|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形， 而矩形的邻边不一定相等，所以|a|b|不一定成立， 所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件.,5.在下列三个结论中，正确的是_.(写出所有正确结论的序号) 若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；,“x1”是“x21”的充分不必要条件.,易知正确.对于，若x1， 则x21，充分性不成立，故错误.,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 命题及其关系,例1 (2016宿州模拟)下列命题： “若a21，则ax22axa30的解集为R”的逆否命题； “若 x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是 A. B. C. D.,答案,解析,对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题； 对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题； 对于，当a1时，12a0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确； 对于，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确.故选A.,思维升华,(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： 对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.,跟踪训练1 (1)命题“若x0，则x20”的否命题是 A.若x0，则x20 B.若x20，则x0 C.若x0，则x20 D.若x20，则x0,答案,(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是 A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福,答案,题型二 充分必要条件的判定,例2 (1)(2015四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,3a3b3，ab1，此时loga33b3，,故“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件.,(2)已知条件p：x1或xx2，则綈p是綈q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,由5x6x2，得2x3， 即q：2x3. 所以qp，pq，所以綈p綈q，綈q綈p， 所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.,思维升华,充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.,跟踪训练2 (1)(2016四川)设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,当x1，y1时，xy2一定成立，即pq， 当xy2时，可以x1，y4，即qp， 故p是q的充分不必要条件.,(2)已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,(等价法)因为p：xy2，q：x1或y1， 所以綈p：xy2，綈q：x1且y1， 因为綈q綈p但綈p綈q， 所以綈q是綈p的充分不必要条件， 即p是q的充分不必要条件，故选A.,题型三 充分必要条件的应用,例3 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求m的取值范围.,解答,由x28x200，得2x10，Px|2x10， 由xP是xS的必要条件，知SP.,当0m3时，xP是xS的必要条件， 即所求m的取值范围是0,3.,引申探究 1.本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件.,解答,若xP是xS的充要条件，则PS，,即不存在实数m，使xP是xS的充要条件.,2.本例条件不变，若x綈P是x綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.,解答,由例题知Px|2x10， 綈P是綈S的必要不充分条件，PS且SP. 2,101m,1m.,m9，即m的取值范围是9，).,思维升华,充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.,跟踪训练3 (1)已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_.,答案,解析,令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4. p是q的充分不必要条件，MN，,(0,3),(2)已知条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,命题p为x| x1，命题q为x|axa1. 綈p对应的集合Ax|x1或xa1或xa. 綈p是綈q的必要不充分条件，,典例 (1)(2016湖北七校联考)已知p，q是两个命题，那么“pq是真命题”是“綈p是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p：x22x30；条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是 A.1，) B.(，1 C.1，) D.(，3,等价转化思想在充要条件中的应用,思想与方法系列1,答案,解析,思想方法指导,等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到. 本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.,返回,(1)因为“pq是真命题”等价于“p，q都为真命题”， 且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”， 所以“pq是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件. (2)由x22x30，得x1， 由綈q的一个充分不必要条件是綈p， 可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. x|xax|x1， a1.,返回,课时作业,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.命题“如果xa2b2，那么x2ab”的逆否命题是 A.如果xa2b2，那么x2ab B.如果x2ab，那么xa2b2 C.如果x2ab，那么xa2b2 D.如果xa2b2，那么x2ab,答案,解析,命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”， “”的否定是“”.故答案C正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0,答案,解析,原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限， 则函数yf(x)是幂函数”， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.(2015重庆)“x1”是“ ”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,由x1x23 ，,x21x1，,故“x1”是“ ”成立的充分不必要条件.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交， 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.已知集合AxR| 2 D.m|2m2,答案,解析,AxR| 3， 即m2，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,7.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,由Venn图易知充分性成立. 反之，AB时，由Venn图(如图)可知， 存在AC，同时满足AC，BUC. 故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,若p成立，设a1，a2，an的公比为q，,(a1a2a2a3an1an)2(a1a2)2(1q2q2n4)2， 故q成立，故p是q的充分条件. 取a1a2an0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.设a，b为正数，则“ab1”是“a2b21”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”),答案,解析,ab1，即ab1. 又a，b为正数， a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立， 反之，当a ，b1时，满足a2b21，但ab1不成立. 所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.有三个命题： “若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题. 其中真命题的序号为_.,答案,解析,命题为“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题； 因为命题“若ab，则a2b2”是假命题，故命题是假命题； 命题为“若x3，则x2x60”，因为x2x603x2，故命题是假命题. 综上知只有命题是真命题.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”),答案,解析,充要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,若当x0,1时，f(x)是增函数， 又yf(x)是偶函数，当x1,0时，f(x)是减函数. 当x3,4时，x41,0，T2，f(x)f(x4). 故x3,4时，f(x)是减函数，充分性成立. 反之，若x3,4时，f(x)是减函数，此时x41,0， T2，f(x)f(x4)，则当x1,0时，f(x)是减函数. yf(x)是偶函数， 当x0,1时，f(x)是增函数，必要性也成立. 故“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,0,2,由已知易得x|x22x30x|xm1， 又x|x22x30x|x3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若“数列ann22n(nN*)是递增数列”为假命题，则的取值范围是_.,答案,解析,若数列ann22n(nN*)为递增数列，则有an1an0，,即2n12对任意的nN*都成立，于是可得32，即 .,故所求的取值范围是 ，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,*14.下列四个结论中： “0”是“a0”的充分不必要条件； 在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件； 若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件； 若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件. 其中正确的是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确； 由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确； 由a2b20可以推出a，b不全为零， 反之，由a，b不全为零可以推出a2b20， 所以“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，不正确，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解答,由xm21，得x1m2，Bx|x1m2. “xA”是“xB”的充分条件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
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