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第四章,数系的扩充与 复数的引入,学习目标,1.掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.,2 复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法,1,知识梳理 自主学习,2,题型探究 重点突破,3,当堂检测 自查自纠,知识点一 复数的加、减法法则,设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR), 则z1z2(ac)(bd)i,z1z2 . 即两个复数的和(或差)仍然是一个 ,它的实部是原 来两个复数的 的和(或差),它的虚部是原来两个复数的 的和(或差).,(ac)(bd)i,复数,实部,虚部,思考 复数代数形式的加法法则是怎样规定的，你怎样理解其规定的合理性. 答 对于两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)而言： (1)当b0，d0时，与实数加法法则一致； (2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立； (3)符合向量加法的平行四边形法则.,(1)交换律：z1z2z2z1. (2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3).,知识点二 复数加法的运算律,知识点三 复数加、减法的几何意义,题型一 复数加减法的运算,例1 计算：(1)(24i)(34i)； 解 原式(23)(44)i5. (2)(34i)(2i)(15i). 解 原式(321)(415)i22i.,反思与感悟 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类比多项式加减中的合并同类项.,跟踪训练1 计算： (1)(56i)(2i)(34i)； 解 原式(523)(614)i11i. (2)1(ii2)(12i)(12i). 解 原式1(i1)(12i)(12i) (1111)(122)i2i.,题型二 复数加减法的几何意义,例2 复数z112i,z22i,z312i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.,解 设复数z1,z2,z3在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x,yR),如图.,故点D对应的复数为2i.,反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数形结合思想在复数中的运用.,跟踪训练2 如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,32i,24i.,题型三 复数加减法的综合应用,例3 已知|z1|z2|z1z2|1,求|z1z2|. 解 方法一 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR), |z1|z2|z1z2|1, a2b2c2d21, (ac)2(bd)21 由得2ac2bd1,方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1z2对应的点分别为A,B,C. |z1|z2|z1z2|1, OAB是边长为1的正三角形, 四边形OACB是一个内角为60,边长为1的菱形, 且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长,反思与感悟 (1)设出复数zxyi(x,yR),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用. (2)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|,则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|,则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|,则四边形OACB为正方形.,跟踪训练3 若复数z满足|zi|zi|2,求|zi1|的最小值. 解 设复数i,i,(1i)在复平面内对 应的点分别为Z1,Z2,Z3,如图. |zi|zi|2,Z1Z22, 点Z的集合为线段Z1Z2.,问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动,求ZZ3的最小值. 连接Z3Z1,Z3Z1Z1Z2,则Z3与Z1的距离即为所求的最小值,Z1Z31. 故|zi1|的最小值为1.,1.若复数z满足zi33i,则z等于( ) A.0 B.2i C.6 D.62i 解析 z3i(i3)62i.,1,2,3,D,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,解析 复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点为Z(3m2,m1).,4,答案 D,5,1,2,3,C,4,5,1,2,3,4,4.若|z1|z1|,则复数z对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 解析 |z1|z1|,点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上.,B,5,1,2,3,4,5,5.已知复数z1(a22)(a4)i,z2a(a22)i(aR),且z1z2为纯虚数,则a_.,1,课堂小结,1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.,
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