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近代物理及其数学方法,理学院,玻尔的氢原子理论,（1）定态条件：电子绕核作圆周运动，但不辐射能量，只能处于一系列具有不连续能量的稳定状态。每一个定态对应于电子的一个能级和一个轨道。 （2）原子在两个能量状态之间跃迁时才能发射或吸收电磁波，且电磁波的频率满足条件 （3）电子绕核作圆周运动时角动量是量子化的，取值为,第3.3节 氢原子量子理论,氢原子满足的薛定谔方程,定态薛定谔方程为,R(r) 称为径向波函数,为球谐函数,电子绕核轨道角动量z分量和轨道角动量平方算符,一、氢原子角动量,采用球坐标系,为球谐函数, 例如：,通过求解L2和Lz 的本征方程得到本征函数和本征值如下(过程略)：,角动量L的取值是量子化的，最小值可取零（与玻尔假设不同*）,1) 主要结论,和 有共同的本征函数 Yl, m(,),的本征值为,角动量的大小：,l=0, 1, 2 称为角量子数,可能的本征值,角动量在空间的取向也是量子化的。,m=-l, -l+1,l-1, l 称为磁量子数,对于一定的角量子数l ,磁量子数 m 可取(2 l +1)个值，角动量在空间 z 方向的取向只有(2 l +1)种可能。,2) 角动量空间量子化的经典矢量模型,将角动量想象为一长度为 的经典矢量,电子绕原子核的角动量z分量确定，则由于测不准关系的限制，电子绕原子核的角动量方向在任何时刻均是不确定的。,绕z轴进动,若Lz取定值，则矢量的具体方位完全不确定,L 在半顶角 cos=m/l(l+1)1/2的圆锥面上绕Lz轴进动,Lz最取值不同半顶角面不同,注：以上矢量模型完全是为了使角动量空间取向量子化的描述更形象，是一种辅助方法。,3. Zeeman效应证明角动量空间取向的量子化,氢原子从第一激发态（l=1）跃迁到基态（l=0）时，发射光谱只有一条谱线。但在外磁场中发现，该条谱线分裂为三条。,称光谱这种分裂现象为塞曼效应。,解释：电子的轨道角动量对应于轨道磁矩,在外磁场中电子的轨道磁矩具有的附加磁能为：,由于电子轨道角动量空间取向的量子化，氢原子的能级在外加磁场出现了分裂现象，进一步导致谱线的分裂。,塞曼(Zeeman): 1902诺贝尔物理学奖得主,二、氢原子的能量,定态薛定谔方程为,u(r) 称为径向波函数,为球谐函数,可以用分离变量法得电子的波函数可表示为（此处略）：,电子的能量本征值,对角量子数的限制,n = 1, 2, 3，,主要结论,n 称为主量子数,例如：,基 态 n=1, l=0;,第一激发态 n=2, l=0、1,第二激发态 n=3, l=0、1、2,电子的波函数,在空间点（r, , ）处,小体积元 dV 中电子出现的概率为：,一般是与 r 、 有关,三、氢原子波函数,(球谐函数是归一的),Wnl (r)=u2nl(r)的意义呢？,考虑电子在 r r+dr 球壳的几率,1.电子径向波函数和径向几率分布 Rnl(r)= unl( r )/r,几率随n增大而远离原子核 在基态，电子在r=a0处出现的几率最大，与经典轨道对应。 电子沿径向的几率分布是连续的不同于经典的轨道概念。,电子径向几率密度与半径的关系,2.电子角向波函数和几率分布,Wnlm (，)的意义呢？,l=0, 1, 2 ,3,分别对应 s, p, d, f, 轨道,规定：,(电子径向波函数是是归一的),电子在基态时角向几率分布是球对称分布的,电子在激发态时的角向几率分布亦有某种对称性,一、 电子的自旋（spin）,斯特恩盖拉赫实验（ Stern-Gerlach ）,实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂为两束。,第3.4节 电子的自旋 泡利不相容原理,Case of ml = -1, 0, 1,一磁偶极子在非均匀磁场中，除了受力矩的作用， 还受力的作用,应该为奇数条，而不是两条,但实验结果说明银原子有磁矩，而且沿外磁场方向有两个分量（银原子分裂为两束）。,实验出现了新的矛盾：,实验用的银原子大部分处在基态（ l =0） ，无磁矩，银原子不应该受到磁力的偏转。,2. 电子自旋,1925年，乌伦贝克和哥德斯密特（当时他俩还是研究生）在分析上述实验的基础上假设：,电子除了“轨道”运动还有一种内秉的运动，称为自旋。相应地有自旋角动量S和自旋磁矩 。,电子自旋角动量在z 方向(外磁场方向)的分量取：,或：,ms 称为自旋磁量子数,电子的总自旋角动量,s 称为自旋量子数,3. 对斯特恩盖拉赫实验的解释,基态银原子（无轨道角动量）的磁矩就是它最外层的价电子的自旋磁矩,在外磁场中有两种分立的取向，经过非均匀磁场磁力的作用在屏上就出现两条痕迹。,对应的“轨道”角动量在外磁场方向上的分量取 2s +1=2种，或：s = 1/2,斯特恩正在观测,银原子束通过非均匀的 磁场时分裂为两束,1943年 斯特恩获诺贝尔物理奖,3）右图为电子在外磁场中的两种自旋运动状态的经典示意图。,总之,但陀螺运动图象正象轨道运动图象一样，是借用了宏观图象，是很不确切的,泡利、洛伦兹等人的反对，埃伦法斯特的支持,乌伦贝克、哥德斯密特的自旋观点受到,2）自旋运动是相对论效应的必然结果，电子的自旋运动是一种内部“固有的”运动无经典运动对应,1）自旋在任意方向的投影有两种可能取值,4. 氢原子的四个量子数 （Quantum Numbers）,氢原子中的电子运动状态由四个量子数决定n, l, ml , ms,1) 主量子数n： n=1, 2, 3,2) 轨道角量子数l： l = 0, 1, 2, (n-1),3) 轨道磁量子数ml： ml=0, 1, 2, , l,4) 自旋磁量子数ms： ms=1/2,决定电子轨道角动量L(l)、能量 Enl,决定电子的能量En,决定轨道角动量的方向,决定自旋角动量的方向,二、泡利不相容原理,实验表明，现在发现大多数微观粒子的自旋量子数取半整数，如电子，中子，质子，中子自旋均为s=1/2；,费米子：自旋量子数取半整数，即 s = 1/2, 3/2,玻色子：自旋为整数，即 s = 0，1,由此可以将微观粒子分为:,此外也有一些基本粒子的自旋取整数，如： 氘核、光子（s=1）、 介子和K介子（s=0）等。,1. 费米子和玻色子,2. 泡利不相容原理,1945诺贝尔物理学奖得主W. Pauli,不可能有两个或两个以上的电子处在同一量子状态。即不能有两个电子具有相同的n, l, ml , ms。,注意：费米子服从泡利不相容原理，但玻色子不受泡利不相容原理的限制。,原子中具有相同主量子数 n 的电子属于同一主壳层,三、各种原子核外电子的排布,由泡利不相容原理可以推算出各电子主壳层中可能容纳的最多电子数：,1. 同一主壳层可能容纳的最多电子数,n=1 (K壳层) : l=0, 2(2l+1）=2个,n=2 (L壳层) : l=0, 2(2l+1）=2个 l=1, 2(2l+1）=6个,n=3 (M壳层): l=0, 2(2l+1）=2个 l=1, 2(2l+1）=6个 l=2, 2(2l+1）=10个,N3 = 18个,n=4, 5, 6, N, O, P壳层,如:,N2 =8个,N1= 2个,能量最小原理：原子处于正常状态时， 每一个电子都占据尽可能低的能级。,能级的高低主要取决于主量子数 n， n 越小，能级越低。因此电子一般按照 n由小到大的次序填入各能级。,但是，由于能级还和角量子数 l 有些关系，所以在个别情况下，n 较小的壳层尚未填满时，n 较大的壳层上就开始有电子填入了。,当原子中电子的能量最小时，整个原子的能量最低，称原子处于基态。,2. 原子核外电子的实际排布,电子由下而上按箭头方向填充,1s2,2s2,2p6,3s2,3p6,4s2,3d10,4p6,5s2,4d10,5p6,6s2,银 Silver(Z=47) 1s2 , 2s2,2p6,3s2,3p6,3d10,4s2,4p6,4d10 ,5s1,例,钾 K(Z=19) 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d, 4s1,钙 Ca(Z=20) 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d, 4s2,也有例外情况,元素周期表,l = 1 (p),l = 0 (s),l = 2 (d),l = 3 (f),1,2,3,4,5,6,7,n,
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