高考数学人教A版（理）一轮复习：第四篇 第7讲 解三角形应用举例

第7讲 解三角形应用举例A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为 ()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20解析如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.答案C2某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 ()A. B2 C.或2 D3解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案C3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4.(2012吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()A30 B45 C60 D75解析依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米解析由已知条件CAB75，CBA60，得ACB45.结合正弦定理得，即，解得AC(千米)答案6.(2013潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理得：，v32 n mile/h.答案32三、解答题(共25分)7(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.求AB的长度解在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D.由CD，得cosCcosD，解得AB7，所以AB长度为7米8(13分)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解如题图所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里)由正弦定理得，所以sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.易知ACB30，故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 ()A50 m B100 m C120 m D150 m解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案A2.(2013榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知BAN105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20(米)，在RtAMN中，MN20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案304.(2013合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题(共25分)5(12分)(2012肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离解(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)连接AB，依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(百米)，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，AB百米6(13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.