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第六章图形与变换6.2图形的相似,中考数学(安徽专用),A组20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为()A.4B.4C.6D.4,答案B由AD是中线可得DC=BC=4.B=DAC,C=C,ADCBAC,=,AC2=BCDC=84=32,AC=4,故选B.,评析本题考查了相似三角形的判定与性质,及三角形的中线,属容易题.,2.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.,解析(1)线段A1B1如图所示.(3分)(2)线段A2B1如图所示.(6分)(3)20.(8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2)2=20(个平方单位).,3.(2014安徽,17,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC(顶点是网格线的交点).(1)将ABC向上平移3个单位得到A1B1C1,请画出A1B1C1;(2)请画一个格点A2B2C2,使A2B2C2ABC,且相似比不为1.,解析(1)作出A1B1C1,如图所示.(4分)(2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的A2B2C2满足条件即可.如图.(8分),评析本题主要考查了相似和平移变换,找出变换后图形对应点的位置是解题关键,属容易题.,考点一相似与位似的有关概念,B组20142018年全国中考题组,1.(2017河北,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的度数相比()A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变,答案DABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定方法可得ABCABC,所以B=B,故选D.,2.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形与原三角形的是(),答案C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.,3.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则=.,答案,解析四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,=.,5.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的,则ABDE=.,答案23,解析ABC与DEF位似,ABCDEF,=.SABC=SDEF,=.=,=(舍负),即ABDE=23.,6.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A2C2B2的正弦值.,解析(1)A1B1C1为所求作三角形.(3分,正确作出一个点给1分)(2)A2B2C2为所求作三角形.(6分,正确作出一个点给1分)根据勾股定理得A2C2=,sinA2C2B2=.(8分),1.(2017甘肃兰州,13,4分)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米,考点二相似三角形的性质与判定,答案A由光线反射可知AGC=FGE,又FEG=ACG=90,FEGACG,FEAC=EGCG,1.6AC=315,AC=8米.BC=0.5米,AB=AC+BC=8.5米.,解题关键本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是判定FEG与ACG相似.,2.(2015内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CEF的面积为()A.B.C.2D.4,答案C在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BFDE,所以ABFADE,所以=,即=,解得BF=4,所以CF=2,所以SCEF=CECF=2.,3.(2018吉林,12,3分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=m.,答案100,解析易知ABDECD,=,又BD=120m,DC=60m,EC=50m,AB=100m.,4.(2017北京,13,3分)如图,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM=.,答案3,解析M,N分别为AC,BC的中点,MNAB,且MN=AB,CMNCAB,且相似比为12,SCMN=1,SCAB=4,S四边形ABNM=SCAB-SCMN=4-1=3.,5.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=.,答案2,解析连接DE,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.,6.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.,解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.,思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法总结证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.,7.(2016福建福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与ACCD的大小关系;(2)求ABD的度数.,解析(1)AD=BC=,AD2=.AC=1,CD=1-=,AD2=ACCD.(2)AD2=ACCD,AD=BC,BC2=ACCD,即=.又C=C,ABCBDC.=.又AB=AC,BD=BC=AD.,A=ABD,ABC=C=BDC.设A=ABD=x,则BDC=A+ABD=2x,ABC=C=BDC=2x,A+ABC+C=x+2x+2x=180.解得x=36.ABD=36.,评析本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得ABCBDC是解题的关键.,8.(2015江苏南京,20,8分)如图,ABC中,CD是边AB上的高,且=.(1)求证:ACDCBD;(2)求ACB的大小.,解析(1)证明:CD是边AB上的高,ADC=CDB=90.又=,ACDCBD.(4分)(2)ACDCBD,A=BCD.在ACD中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.(8分),考点一相似与位似的有关概念,C组教师专用题组,1.(2014湖北武汉,6,3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为()A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1),答案A线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,端点C的坐标为(3,3).故选A.,评析本题主要考查位似图形的性质,属容易题.,2.(2015天津,16,3分)如图,在ABC中,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.,答案,解析DEBC,=,=,=,DE=.,评析本题考查平行线分线段成比例定理.由DEBC可得=,从而可计算出DE的长.,3.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21.,解析(1)如图所示.(3分)(2)如图所示.(6分),4.(2014湖南郴州,19,6分)在1313的网格图中,已知ABC和点M(1,2).(1)以点M为位似中心,位似比为2,画出ABC的位似图形ABC;(2)写出ABC的各顶点坐标.,解析(1)(3分)(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).(6分),1.(2014辽宁沈阳,8,3分)如图,在ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DEBC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20,考点二相似三角形的性质与判定,答案C由题意可得ADEABC,相似比为,所以BC=3DE=15,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定与性质,属容易题.,2.(2014江苏南京,3,2分)若ABCABC,相似比为12,则ABC与ABC的面积的比为()A.12B.21C.14D.41,答案C相似三角形的面积比等于相似比的平方,故选C.,3.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,ABC和EPD的顶点均在格点上,要使ABCEPD,则点P所在的格点为()A.P1B.P2C.P3D.P4,答案C由题图可知,E=A=90,要使ABCEPD,则=2,所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定和性质,设计巧妙,属容易题.,4.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为.,答案,解析EF是ODB的中位线,OE=OD=,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF,=,=,AC=.,5.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则BD长为.,答案2,解析如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,CD=10,DA=5,AC2+CD2=AD2,ACD=90,ACB+DCE=90,ACB+BAC=90,BAC=DCE,又ABC=DEC=90,ABCCED,=,即=,CE=6,DE=8.在RtBED中,BD=2.,6.(2015重庆,15,4分)已知ABCDEF,ABC与DEF的相似比为41,则ABC与DEF对应边上的高之比为.,答案41,解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比,所以答案是41.,7.(2014黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在ABC中,4AB=5AC,AD为ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EFAD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则的值为.,答案,解析EFAD,FG=FD,EF垂直平分GD,EG=ED,EGD=EDG,AGH=ADB,又BAD=HAG,ABDAHG,=.4AB=5AC,AH=AC,=,=,=.=.,8.(2015江苏连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DHAB,交BC的延长线于点H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的长.,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,ACB=DCH,ABCDHC,=.AC=3CD,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.(6分)=.ABCDHC,=,AB=3DH.,=,DH=2,AB=6.(10分)解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分)CDBBDA,=,=,AB=6.(10分),9.(2015福建福州,25,13分)如图,在锐角ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且AFE=A,DMEF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且BDG=C,如图,求证:DEGECF;(3)在图中,取CE上一点H,使CFH=B,若BG=1,求EH的长.,解析(1)证明:DMEF,AMD=AFE.AFE=A,AMD=A.DM=DA.(2)证明:D,E分别为AB,BC的中点,DEAC.DEB=C,BDE=A.又AFE=A,BDE=AFE.BDG+GDE=C+FEC.又BDG=C,EDG=FEC.DEGECF.,图aBDG=C=DEB,B=B,BDGBED.=,即BD2=BEBG.A=AFE,B=CFH,C=180-AFE-CFH=EFH.又FEH=CEF,EFHECF.=,即EF2=EHEC.,(3)解法一:如图a所示,DEAC,DMEF,四边形DEFM是平行四边形.EF=DM=AD=BD.BE=EC,EH=BG=1.解法二:如图b,在DG上取一点N,使DN=FH.图bA=AFE,ABC=CFH,C=BDG,EFH=180-AFE-CFH=C=BDG.DEAC,DMEF,四边形DEFM是平行四边形.,EF=DM=AD=BD.BDNEFH.BN=EH,BND=EHF.BNG=FHC.BDG=C,DBG=CFH,BGD=FHC.BNG=BGD.BN=BG.EH=BG=1.解法三:如图c,取AC中点P,连接PD,PE,PH,则PEAB.图cPEC=B.又CFH=B,PEC=CFH.又C=C,CEPCFH.=.CEFCPH.,CFE=CHP.由(2)可得CFE=DGE,CHP=DGE.PHDG.D,P分别为AB,AC的中点,DPGH,DP=BC=BE.四边形DGHP是平行四边形.DP=GH=BE.EH=BG=1.解法四:如图d,作EHF的外接圆交AC于另一点P,连接PE,PH.图d则HPC=HEF,FHC=CPE.B=CFH,C=C,A=CHF.A=CPE.,PEAB.DEAC,四边形ADEP是平行四边形.DE=AP=AC.DE=CP.由(2)可得GDE=CEF,DEB=C,GDE=CPH.DEGPCH.GE=HC.EH=BG=1.解法五:如图e,取AC中点P,连接PE,PH,则PEAB.图ePEC=B.又CFH=B,PEC=CFH.又C=C,CEPCFH.=.CEFCPH.CEF=CPH.由(2)可得CEF=EDG,C=DEG.D,E分别是AB,BC的中点,DE=AC=PC.DEGPCH.CH=EG.EH=BG=1.,A组20162018年模拟基础题组考点一相似与位似的相关概念,三年模拟,1.(2018安徽合肥、安庆大联考,5)下列说法中正确的是()A.矩形都是相似图形B.各角对应相等的两个五边形相似C.等边三角形都是相似三角形D.各边对应成比例的两个六边形相似,答案CA中,对应角相等,对应边不一定成比例,故不一定相似,故A错误;B中,两个五边形对应角相等,对应边不一定成比例,故不一定相似,故B错误;C正确;D中,对应边成比例,对应角不一定相等,故D错误.故选C.,2.(2017安徽芜湖第二十九中学二模,9)如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,AB的中点,EF交AC于点G,那么AGGC的值为()A.12B.13C.14D.23,答案B连接BD,与AC相交于点O,点E,F分别是AD,AB的中点,EF是ABD的中位线,EFDB,且EF=DB,AEFADB,=,即G为AO的中点,AG=GO,又OA=OC,AGGC=13,故选B.,3.(2016安徽淮北五校联考,4)如图,以O为位似中心,将ABC放大得到DEF,若AD=OA,DE=6,则AB=()A.2B.3C.4D.5,答案B因为AD=OA,所以A为OD的中点,所以AB=DE=3.,4.(2018安徽阜阳三模,17)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出A1B1C1和A2B2C2.(1)把ABC绕点O按顺时针方向旋转90得到A1B1C1;(2)以图中的O为位似中心,在A1B1C1的同侧将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到A2B2C2.,解析(1)如图,A1B1C1为所求作.(2)如图,A2B2C2为所求作.,5.(2018安徽合肥包河一模,17)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1212网格中,给出了格点ABC和直线l.(1)画出ABC关于直线l对称的格点ABC;(2)在直线l上选取一格点P,在网格内画出格点DPE,使得DPEABC,且相似比为21.,解析(1)如图,ABC为所求作.(2)如图,DPE为所求作(答案不唯一).6(2017安徽十校第四次联考,18)如图,在68的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和ABC的顶点均在小正方形的顶点上.(1)以O为位似中心,在网格中作ABC,使ABC和ABC位似,且位似比为12;,(2)求四边形AACC的周长.(结果保留根号),解析(1)如图所示.(2)在RtOAC中,OA=OC=2,根据勾股定理,得AC=2.同理可得AC=4.又AA=CC=2,四边形AACC的周长为4+6.,7.(2017安徽合肥蜀山二模,17)如图,在已知的平面直角坐标系中,ABC的顶点都在正方形网格的格点上,若A,B两点的坐标分别是A(-1,0),B(0,3).(1)将ABC绕原点O顺时针旋转90得到A1B1C1,画出A1B1C1;(2)以点O为位似中心,与ABC位似的A2B2C2满足A2B2AB=21,请在网格内画出A2B2C2,则A2B2C2的面积为.,解析(1)如图所示,A1B1C1即为所求作.(2)如图所示,A2B2C2即为所求作,A2B2C2的面积为10.,8.(2016安徽阜阳二模,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,ABC的顶点坐标分别是A(1,-1)、B(3,-3),C(5,-2).(1)在图中作出该坐标系;(2)在(1)的基础上继续作图:将ABC向左平移3个单位得到A1B1C1,再将A1B1C1以原点O为位似中心放大2倍,得到A2B2C2,使得点A1的对应点A2在第一象限;(3)ABC内的点P(a,b)在经过上述两次变换后,其对应点P2的坐标为.,解析(1)如图所示:(2)如图所示:(3)(6-2a,-2b).,1.(2017安徽池州贵池期末联考,4)如图,点P在ABC的边AC上,要使ABPACB,需添加一个条件,不正确的是()A.=B.APB=ABCC.=D.ABP=C,考点二相似三角形的性质与判定,答案A由题图可知,ABP与ACB有公共角A,虽然选项A给出的对应边的比相等,但是对应边所夹的角不是A,故A不正确.,2.(2017安徽十校第四次联考,7)在ABC中,AB=24,AC=18,D为AC上一点且AD=12,在AB上取一点E,使得以A,D,E为顶点的三角形与ABC相似,则AE的长应为()A.16B.14C.16或14D.16或9,答案D当AD与AC是对应边时,由相似可得=,代入数据可得AE=16;当AD与AB是对应边时,由相似可得=,代入数据可得AE=9,所以AE=16或9.,3.(2017安徽合肥蜀山一模,7)如图,D、E分别是ABC的边AB、BC上的点,且DEAC,若SBDESCDE=13,则SDOESAOC的值为()A.B.C.D.,答案DSBDESCDE=13,BEEC=13,BEBC=14,DEAC,BDEBAC,DOECOA,=,=.故选D.,4.(2018安徽阜阳三模,23)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:ADFABC;(2)如图2,在(1)的条件下,若=45,求证:DE2=BD2+CE2;(3)如图3,若=45,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.,解析(1)证明:点D关于直线AE的对称点为F,EAF=DAE,AD=AF,又BAC=2DAE,BAC=DAF,又AB=AC,=,ADFABC.(2)证明:点D关于直线AE的对称点为F,EF=DE,AF=AD,=45,BAD=90-CAD.又CAF=DAE+EAF-CAD=45+45-CAD=90-CAD,BAD=CAF,在ABD和ACF中,ABDACF(SAS),CF=BD,ACF=B,AB=AC,BAC=2,=45,ABC是等腰直角三角形,B=ACB=45,ECF=ACB+ACF=45+45=90,在RtCEF中,由勾股定理得EF2=CF2+CE2,所以DE2=BD2+CE2.(3)DE2=BD2+CE2成立,理由如下:作点D关于直线AE的对称点F,连接EF、CF、AF.由轴对称的性质知EF=DE,AF=AD,=45,DAF=90,BAC=90,BAD=CAF,在ABD和ACF中,ABDACF(SAS),CF=BD,ACF=B,AB=AC,BAC=90,ABC是等腰直角三角形,B=ACB=45,ECF=180-(ACB+ACF)=180-(45+45)=90,在RtCEF中,由勾股定理得EF2=CF2+CE2,所以DE2=BD2+CE2.,思路分析(1)由点D、F关于直线AE对称可得EAF=DAE,AD=AF,再根据已知条件可得BAC=DAF,问题解决;(2)由点D、F关于直线AE对称及=45可得BAD=CAF,再证明ABDACF,然后证明ECF=90,最后由勾股定理即可证明;(3)作D关于直线AE的对称点F,连接EF、CF、AF,然后运用(2)的方法证明即可.,5.(2017安徽马鞍山含山一模,23)如图1,点D位于ABC的边AC上,已知AB是AD与AC的比例中项.(1)求证:ACB=ABD;(2)现有点E、F分别在边AB、BC上,如图2,满足EDF=A+C,当AB=4,BC=5,CA=6时,求证:DE=DF.,证明(1)AB是AD与AC的比例中项,=,又A=A,ABDACB,ACB=ABD.(2)ABDACB,=,即=,解得AD=,BD=,CD=AC-AD=6-=,BD=CD,DBC=ACB,又ACB=ABD,ABD=DBC,EDF=A+C=180-ABC,EDF+ABC=180,点B、E、D、F四点共圆,=,DE=DF.,6.(2016安徽合肥庐阳二模,19)如图,一棵大树在一次强台风中折断倒下,未折断的树干AB与地面仍保持垂直关系,而折断的部分AC与未折断的树干AB形成60的夹角,树干AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE,测得BE=6米,塔高DE=9米.在某一时刻的太阳照射下,未折断的树干AB落在地面上的影子FB长为4米,且点F、B、C、E在同一条直线上,点F、A、D也在同一条直线上,求这棵大树没有被折断时的高度.,解析根据题意,得ABEF,DEEF,ABC=90,ABDE,ABFDEF,(4分)=,即=,AB=3.6米.(6分)cosBAC=,AC=7.2(米),(8分)AB+AC=3.6+7.2=10.8(米),即这棵大树没有被折断时的高度为10.8米.(10分),1.(2017安徽合肥瑶海二模,9)如图,在ABC中,BC=10,D、E分别是AB、AC的中点,连接BE、CD交于点O,OD=3,OE=4,则ABC的面积为()A.36B.48C.60D.72,B组20162018年模拟提升题组(时间:45分钟分值:70分)一、选择题(每小题3分,共9分),答案D因为D、E分别是AB、AC的中点,所以DEBC,且DE=BC=5,所以=,所以SODESOBC=,SODESOBD=,SODESOEC=,又OD=3,OE=4,所以OD2+OE2=DE2,所以SODE=34=6,所以SOBC=24,=12,SOEC=12,所以S四边形DECB=6+12+12+24=54,易知SADESABC=,所以S四边形DECB=SABC,所以SABC=54=72,故选D.,思路分析由D、E分别是AB、AC的中点可得DEBC,且DE=5,从而可求SODE及SODESOBC=,SODESOBD=,SODESOEC=,进而可求S四边形DECB,又SADESABC=,故可求SABC.,2.(2017安徽合肥瑶海一模,10)如图,在ABC中,AB=AC=a,BC=b(ab).在ABC内依次作CBD=A,DCE=CBD,EDF=DCE,则EF等于()A.B.C.D.,答案CAB=AC,ABC=ACB,又CBD=A,ABCBDC,又DCE=CBD,BCDCDE,又EDF=DCE,CDEDFE,=,=,=,且易知BC=BD=b,EC=DC,CD=,DE=,EF=,故选C.,思路分析易证ABCBDCCDEDFE,根据相似三角形的性质即可求EF.,3.(2016安徽淮北五校联考,10)如图,在ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB边于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为()A.3B.C.3或D.3或,答案D依据相似三角形的判定定理,过点P的直线PQ应有两种作法:一是过点P作PQBC,如图1,则AQPABC,此时=,所以AQ=3;二是过点P作APQ=ABC,如图2,则APQABC,此时=,所以AQ=,故选D.,思路分析分为两种情况:一是AQPABC,再由相似求解;二是APQABC,再由相似求解.,4.(2017安徽十校第四次联考,14)如图,ABC与AEF中,AB=AE,BC=EF,B=E,AB交EF于D.给出下列结论:DE=CF;AFC=C;ADEFDB;BFD=CAF.其中正确的结论是(填序号).,二、填空题(共3分),答案,解析对于,已知BC=EF,若DE=CF,则DF=BF,所以BDF=BFD,又ADE=BDF,所以B=ADE=E,那么AD=AE=AB,这与ADAB矛盾,故错误;对于,在ABC和AEF中,AB=AE,B=E,BC=EF,所以ABCAEF,则AF=AC,所以AFC=C,故正确;对于,因为B=E,BDF=EDA,所以AEDFBD,故正确;对于,由知BFD=EAD,由知EAF=BAC,所以EAD=CAF,所以BFD=CAF,故正确.综上,正确.,思路分析假设DE=CF,根据由已知推出的结论与已知矛盾即可判断;证ABCAEF,可得AF=AC,即可判断;由对顶角相等及已知易证;由和可判断.,5.(2018安徽蚌埠禹会一模,23)如图(1),P为ABC所在平面内一点,且APB=BPC=CPA=120,则点P叫做ABC的费马点.(1)如果点P为锐角ABC的费马点,且ABC=60:求证:ABPBCP;若PA=3,PC=4,则PB=;(2)已知锐角ABC,分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD,CE和BD相交于点P,如图(2):求CPD的度数;求证:点P为ABC的费马点.,三、解答题(共58分),解析(1)证明:PAB+PBA=180-APB=60,PBC+PBA=ABC=60,PAB=PBC,又APB=BPC=120,ABPBCP.ABPBCP,=,PB2=PAPC=12,PB=2.(2)如图,易知ACEADB,ADP=ACP,又AFD=PFC,CPD=CAD=60.,证明:易知ADFPCF,=.又AFP=CFD,AFPDFC,APF=ACD=60,APC=CPD+APF=120,易知BPC=180-CPD=120,APB=360-BPC-APC=120.点P为ABC的费马点.,6.(2017安徽合肥二模,23)如图1,在四边形ABCD中,DAB被对角线AC平分,且AC2=ABAD.我们称该四边形为“可分四边形”,DAB称为“可分角”.(1)如图2,在四边形ABCD中,DAB=60,AC平分DAB,且BCD=150,求证:四边形ABCD为“可分四边形”;(2)如图3,四边形ABCD为“可分四边形”,DAB为“可分角”,若DCB=DAB,求DAB的度数;(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,DAB为“可分角”,且AC=4,则DAB的最大面积等于.,解析(1)证明:DAB=60,AC平分DAB,DAC=CAB=30,D+ACD=180-30=150,又BCD=ACD+ACB=150,D=ACB,ADCACB.ADAC=ACAB,AC2=ABAD,四边形ABCD为“可分四边形”.(2)AC平分DAB,DAC=BAC,AC2=ABAD,ADAC=ACAB,ADCACB,D=ACB,DCB=DAB,DCB=DCA+ACB=2DAC,DAC+D+ACD=180,DAC+2DAC=180,解得DAC=60,DAB=120.(3)四边形ABCD为“可分四边形”,AC=4,ABAD=AC2=16,当ABAD时,DAB的面积最大,且最大面积为16=8.,思路分析(1)由题意可证ADCACB,再根据所给定义即可证明;(2)利用(1)的结论及DAC+D+ACD=180即可求DAC,进一步可求DAB;(3)易知当ABAD时DAB的面积最大,求解即可.,7.(2017安徽合肥瑶海一模,23)已知RtABC中,ACB=90,点D为斜边AB的中点,DEF的顶点E,F分别在边AC,BC上.(1)如图1,若AC=BC=4,EDF=90,则EC+CF=(填数值);(2)如图2,若EDF=90,则ACB和DEF相似吗?若相似,请给出证明;若不相似,请说明理由;(3)如图3,若BC=4,DEF=90,且tanEDF=2,设AC=x(8x10),DEF的面积为S,写出S关于x的函数解析式,并求出S的最大值.,解析(1)4.(提示:连接CD,证明ADECDF)(2)相似.证明:过点D作DGAC,DHBC,垂足分别是点G、点H,DGC=DHF=90,C=90,四边形CGDH为矩形,GDH=GDF+HDF=90,EDF=GDF+GDE=90,HDF=GDE,又DGE=DHF=90,RtGDERtHDF,=.点D是AB的中点,DG=BC,DH=AC,=,=,EDF=BCA,ACBFDE.(3)过点D作DMAC,垂足为点M,则DMBC,易证RtMEDRtCFE,=,点D是AB的中点,DMBC,DM=BC=2,AM=MC=AC=x,tanEDF=2,=2,=2,CE=4,ME=MC-CE=x-4,在RtDEM中,由DM2+ME2=DE2,得DE2=22+=(x-8)2+4,S=DEEF=DE2DE=DE2=(x-8)2+4(8x10),当x8时,S随x的增大而增大,当x=10时,S取得最大值,最大值为(10-8)2+4=5.,思路分析(1)连接CD,利用等腰直角三角形的性质证明ADECDF,从而得到AE=CF,进而可得EC+CF=AC=4;(2)过点D作DGAC于点G,DHBC于点H,先证RtGDERtHDF,再利用三角形中位线的性质即可判定EDFBCA;(3)过点D作DMAC于点M,先证RtDMERtECF,得到对应边成比例,再根据正切的含义和勾股定理,结合三角形面积公式得到S关于x的二次函数,然后利用二次函数的性质求解最大值.,评析本题主要考查直角三角形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用.,8.(2016安徽合肥庐阳二模,23)在ABC中,ACB=90,经过点A的直线MNBC,点D为AB边上一点(不与点A重合),连接CD,作DECD交MN于点E,连接CE.(1)如图(1),当B=45时,的值为;如图(2),当B=60时,的值为;(2)当B=时,求的值,并说明理由;(用含的三角函数表示)(3)判断ECD与ABC是否相似,并说明理由.,解析(1)1;.(2)如图,过点D作MN的垂线交MN于点P,交BC于点Q,易证EPDDQC,=.设BC=m,BQ=n,则AC=mtan,DQ=ntan,PD=AC-DQ=(m-n)tan,CQ=BC-BQ=m-n,=tan.=tan.(3)ECD与ABC相似.,理由:=tanB,=.又EDC=ACB=90,ECDABC.,思路分析(1)由EAC=CDE=90,说明A,E,C,D四点共圆,可得CED=CAB=45,可得CED=CAB=30,问题解决;(2)过点D作MN的垂线交MN于点P,交BC于点Q,易证EPDDQC,可得=,设BC=m,BQ=n,由直角三角形的性质求出PD、CQ即可;(3)根据tanB=及EDC=ACB=90,可证ECDABC.,9.(2016安徽安庆模拟,23)如图,平行四边形ABCD中,AB=AC,CEAB于点E,CFAC交AD的延长线于点F.(1)求证:BCEAFC;(2)连接BF,分别交CE、CD于G、H(如图),求证:EG=CG;(3)在图中,若ABC=60,求.,解析(1)证明:CEAB,CFAC,BEC=ACF=90,四边形ABCD是平行四边形,ADCB,CAF=ACB,又AB=AC,EBC=ACB=CAF,BCEAFC.(4分)(2)证明:由(1)知BCEAFC,=,ADBC,ABCD,=,BE=CH,ABCD,BEG=HCG,EBG=CHG,在BGE与HGC中,BGEHGC,EG=CG.(10分)(3)ABC=60,AB=AC,ABC是等边三角形,CEAB,BE=AE,BE=CH,CH=DH,ABDH,BH=FH,BG=GH,BGGF=13.(14分),思路分析(1)由垂直定义,四边形ABCD是平行四边形及AB=AC可证BCEAFC;(2)由(1)可得=,由平行线的性质可得=,由此可证BGEHGC,可得EG=CG;(3)先判定ABC为等边三角形,由(2)中BGEHGC可得BE=CH,然后根据平行线的性质及等量代换求出.,方法指导本题在证明(2)时用到了(1)的结论,证明(3)时用到了(2)的结论,这种环环相扣的题型是中考题中常出现的,提醒同学们在做这类题时要注意前后联系,善于利用前面的结论解决问题.,10.(2016安徽安庆二模,23)如图,ABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的延长线上,且CE=CD,过点B作BFDE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.(1)求证:AB=BG;(2)求BF的长;(3)若点P是射线BG上的一点,当BP的长为多少时,BCP与BCD相似?并说明理由.,解析(1)证明:BFDE,AD=BD,AC=CG,BG=2CD.又ACB=90,AB=2CD,AB=BG.(4分)(2)AC=3,BC=4,ACB=90,AB=5,CD=.又CE=CD,DE=,BF=2DE=.(8分)(3)AB=BG,ACB=90,DBC=PBC.分以下两种情况:如图(1),若CDB=CPB,则BCPBCD,此时BP=BD=.(11分)如图(2),若PCB=CDB,则BPCBCD,BPC=BCD=CBD=CBP,CP=BC.过点C作CHBG于点H.易证ABCCBH,=,解得BH=,BP=.(14分),思路分析(1)应用三角形中位线的性质及斜边上的中线等于斜边的一半即可得证;(2)由勾股定理求出AB,从而可求CD,再由CE=CD可求DE,进而根据中位线的性质可求BF;(3)分两种情况:CDB=CPB,由BCPBCD可求BP;PCB=CDB,由BPCBCD及ABCCBH可求BH,进而求BP.,1.(2017安徽合肥四十五中最后一卷,23)如图1,ABC是等腰直角三角形,在两腰AB,AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE,AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线,连接CM,BN,CM与AB交于点P.(1)求证:CM=BN;(2)如图2,点F为角平分线AN上一点,且CPF=30,求证:APFAMC;(3)如图2,求的值.,C组20162018年模拟探究题组(时间:30分钟分值:45分)解答题(共45分),解析(1)证明:ABC是等腰直角三角形,AB=AC,易知ABDACE,AM,AN分别是ABD和ACE的角平分线,AM=AN,又MAC=MAB+BAC=120,BAN=CAN+BAC=120,MAC=BAN,MACNAB,CM=BN.(2)证明:APC是APM的一个外角,APC=AMP+PAM=CPF+APF,CPF=30=MAP,AMP=APF,由(1)知PAF=MAC=120,APFAMC.,由(2)知APFAMC,=,BAH=90,BAM=30,MAH=60,AMH=30,设AH=1,则AM=2,MH=,AB=,则AC=,(3)过M作MHCA交CA的延长线于点H,易知APMH,=,即=,AP=,=,即=.,思路分析(1)根据已知条件易证MACNAB,由对应边相等证得线段相等;(2)利用三角形的外角性质和已知条件可得两组对应角相等,从而证明两个三角形相似;(3)作辅助线构造直角三角形,根据比例线段可求得相关线段的长,再根据(2)中相似三角形的对应边成比例及(1)中的结论即可求解.,2.(2016安徽宿州灵璧一模,23)如图,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一直角边交CD于点F,另一直角边交CB的延长线于点G.(1)求证:EF=EG;(2)如图,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立.请说明理由;(3)如图,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求的值.,解析(1)证明:GEB+BEF=90,DEF+BEF=90,DEF=GEB,在FED和GEB中,FEDGEB(ASA),EF=EG.(4分)(2)成立.证明:如图,过E作EHBC于点H,作EPCD于点P,四边形ABCD为正方形,CE平分BCD,又EHBC,EPCD,EH=EP,四边形EHCP是正方形,HEP=90,GEH+HEF=90,PEF+HEF=90,PEF=GEH,RtFEPRtGEH,EF=EG.(9分)(3)如图,过E作EMBC于点M,作ENCD于点N,则MEN=90,EMAB,ENAD.CENCAD,CEMCAB,=,=,=,即=,NEF+FEM=GEM+FEM=90,GEM=FEN,GME=FNE=90,GMEFNE,=,=.(14分),思路分析(1)证明FEDGEB即可;(2)分别作EHBC于点H,EPCD于点P,先证四边形EHCP是正方形,然后证明RtFEPRtGEH即可;(3)分别作EMBC于点M,ENCD于点N,先证CENCAD,CEMCAB,可得=,可得=,再证GMEFNE,可得=,即=.,3.(2016安徽合肥瑶海二模,23)在四边形ABCD中,ABC=BCD=60,AB+DC=BC.(1)如图,连接AC、BD,求证:AC=BD;(2)如图,BAD与ADC的平分线相交于E点,求E的度数;(3)如图,若AB=6,CD=3,点P为BC上一点,且APD=60,试判断APD的形状,并说明理由.,解析(1)证明:如图,在CB上截取BE=AB,连接DE、AE,AB+DC=BC,CD=CE,又ABC=BCD=60,ABE与CDE均为等边三角形,AE=BE,DE=CE,AEB=CED=60,BED=AEC=120,BEDAEC(SAS),AC=BD.(4分)(2)在四边形ABCD中,B=C=60,BAD+ADC=240,AE、DE分别是BAD、ADC的平分线,EAD+EDA=(BAD+ADC)=120,E=60.(7分),APB+CPD=120,又ABP=60,BAP+APB=120,BAP=CPD,又B=C=60,ABPPCD.=,又AB=6,CD=3,BC=9,=,BP(9-BP)=18,解得BP=3或BP=6,(11分)当BP=3时,=1,即AP=PD,(3)如图,APD=60,又APD=60,故APD是等边三角形;(12分)当BP=6时,PC=3,易得ABP、CDP均为等边三角形,AP=6,DP=3,即AP=2DP,取AP的中点E,连接DE,得PE=PD,APD=60,EPD是等边三角形,ED=EP=EA,点D在以AP为直径的圆上,故APD是直角三角形.(14分),思路分析(1)在CB上截取BE=AB,可证ABE与CDE均为等边三角形,再证BEDAEC,可得AC=BD;(2)由四边形内角和为360可知BAD+ADC=240,而AE、DE分别是BAD、ADC的平分线,可求EAD+EDA=120,由三角形内角和等于180可求E的度数;(3)先证ABPPCD,可得=,解出BP=3或6,再以这两种情况分别判断APD的形状.,
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