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近世代数一、单项选择题1、若A=1，2，3，5，B=2，3，6，7，则=（ ）A、1，2，3，4 B、2，3，6，7C、2，3 D、1，2，3，5，6，7答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（ ）A、循环群是交换群 B、交换群是循环群C、循环群不一定是交换群 D、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（ ）A、n次对换群的阶为 B、整环一定是域C、交换环一定是域 D、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H是G的子群，那么A、 对于有或B、C、D、 以上都对答案：D 5、设A=R（实数域）， B=R+（正实数域） f:a10aaA 则 f是从A到B的（ ）A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）A、有限 B、无限 C、为零 D、为1答案：A7、整环（域）的特征为（ ）A、素数 B、无限 C、有限 D、或素数或无限答案：D8、若S是半群,则( )A、任意都有a(bc)=(ab)c B、任意都有ab=baC、必有单位元 D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z中，6的真因子是（ ） A、 B、 C、 D、答案：B10、偶数环的单位元个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个答案：A11、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ ）A、集合中两两都不相同；B、的次序不能调换；C、中不同的元对应的象必不相同；D、一个元的象可以不唯一。答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（ ）A、在整数集上，； B、在有理数集上，；C、在正实数集上，；D、在集合上，。答案：D13、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）A、不适合交换律； B、不适合结合律； C、存在单位元； D、每个元都有逆元。答案：C14、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）A、0和； B、1和0； C、和； D、和。答案：D15、设和都是群中的元素且，那么（ ）A、； B、； C、； D、。答案：A16、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ ）A、6； B、24； C、10； D、12。答案：B17、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A、的同态核是的不变子群； B、的不变子群的逆象是的不变子群； C、的子群的象是的子群； D、的不变子群的象是的不变子群。答案：D18、设是环同态满射，那么下列错误的结论为（ ）A、若是零元，则是零元； B、若是单位元，则是单位元；C、若不是零因子，则不是零因子；D、 若是不交换的，则不交换。答案：C19、下列正确的命题是（ ）A、欧氏环一定是唯一分解环； B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环； D、唯一分解环必是欧氏环。答案：A20、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（ ）A、； B、；C、； D、答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。答案：传递性2、设A,B都为有限集，且则（ ）.答：mn3设是集合A平面上所有直线上的关系：或 （），则（ ）等价关系。答：是4、设群G中的元素的阶为m，则的充要条件是（ ）。答：5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（ ）。答：有6、次对称群的阶是（ ）。答：7、设是有限群，是的子群，且在中的指数为，则（ ）。答：8、设G是一个群,e是G的单位元，若且a=a,则（ ）答：a=e9、最小的数域是（ ）。答：有理数域10、设集合A=1,2,则AA=（ ）,2A（ ）。答：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），1，2，1，211、设是A的一个变换，则（ ）。答：12、设是集合A上的等价关系，（ ）等价关系。答：是13、若群G中每一个元素都适合方程，则是（ ）群。答：交换群14、阶群是循环群的充要条件是（ ）。答：中存在阶的元素15、设是有限循环群，则是的同态象的充要条件是（ ）。答：16、如果环R的乘法满足交换律，即，有，则称R为（）环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（ ）环。答：数环18、设有限域的阶为81，则的特征（ ）。答：319、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于（ ）。答：2520、一个有单位元的无零因子（ ）称为整环。答：交换环21、如果710002601是一个国际标准书号，那么（ ）。答：622.剩余类加群Z12有 （ ）个生成元.答：623、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（ ）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）24、6阶循环群有 （ ）个子群.答：326、模8的剩余类环Z8的子环有（ ） 个.答：627、设集合；，则有（ ）。答：28、如果是与间的一一映射，是的一个元，则（ ）。答：29、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么（ ）。答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（ ）同构。答：变换群32、给出一个5-循环置换，那么（ ）。答：33、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为（ ）。答：34、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是（ ）。答：一个最大理想35、整环的一个元叫做一个素元，如果（ ）。答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果（ ）。答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设与都是非空集合，那么。 （ ）2、设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ ）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ ）6、群的子群是不变子群的充要条件为。（ ）7、如果环的阶，那么的单位元。 （ ）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ ）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 （ ）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环， 是由素数生成的主理想。 （ ） 四、解答题1、A=数学系的全体学生，规定关系R：，证明R是A的一个等价关系。答案：自反性： 自己与自己显然在同一个班级对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：若a与b同在一个班级, b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？（等式右边指的是普通数的运算）答：因为对于，有，根据实数的加法与乘法的运算率得。又。所以，R的代数运算既满足结合率，又满足交换率。3、设集合，求。答案：4、设，求关于子群的左陪集分解。答：，。因而，关于子群的左陪集分解为 。5、设半群既有左单位元，又有右单位元，证明，而且是的唯一单位元。答：证明（因是右单位元），（因是左单位元），得；若还有单位元，则，故是的唯一单位元。6、对于下面给出的Z到Z的映射 计算。答案：7、设是的不变子群，则，有。答：因是的不变子群，故对于，有，于是。8、设0是环的零元，则对于，。答：因为，有，由于关于加法作成群，即对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去，得。同理可得。9、如果半群有一个左单位元，并且对于，存在左逆元，使得，则是一个群。答：，由条件知，有左逆元，使得，而对于在中也存在左逆元，使得，则有所以，的左逆元也是的右逆元，即在中有逆元，又由于，知是的单位元。故是一个群。10、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法左消去律成立。答：设环没有左零因子，如果有，则有，当时，由于没有左零因子，得，即，中关于乘法左消去律成立。反之，若在中关于乘法左消去律成立，如果，有，即，左消去得，即中非零元均不是左零因子，故为无零因子。11、若是的两个理想，则也是的一个理想。答：，则有，从而；。所以，是的一个理想。12、设,则H是G的一个子群，写出G关于H的所有左陪集的分解.答案：,因而，G关于H的左陪集的分解为.13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？答：取则，又。所以，Q的代数运算既不满足结合率，又不满足交换率。14、设，求关于子群的右陪集分解。答：，。因而，关于子群的右陪集分解为 。15、设是有单位元的半群，若有左逆元，又有右逆元，则是可逆元，且是的唯一的逆元。答：证明由条件知，则有若都是的逆元，同理有故有唯一的逆元。16、设是环，则，有。答：由，得，同理，由，得。17、设是的子群，若对于，有，则是的不变子群。答：任取定，对于，由于，则存在，使得；，由于，故存在，使得。因此，对于，有。故是的不变子群。18、如果是半群，则是群的充分必要条件是：，方程和在中有解。答：必要性。因是群，则在中有逆元，则，分别代入方程和，有，即分别为方程和的解。充分性。因是半群，则是非空集合，取定，则方程在中有解，即存在中的元素，使得。下证是的左单位元。，方程和在中有解，即，于是，则是的一个左单位元。又，方程在中有解，即，得是的一个左逆元。从而得中的每一个元素都有左逆元。故是群。19、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法右消去律成立。答：设环没有左零因子，则也无右左零因子。于是由，得，当时，由于没有右零因子，得，即，中关于乘法右消去律成立。反之，若在中关于乘法右消去律成立，如果，有，即，右消去得，即中非零元均不是右零因子，故为无零因子。20、设为交换环，证明：是的理想。答：（1），则，从而，即。（2），有，由于为交换环，从而，即。因此是的理想。21、=（z，+），对规定结合法“” 证明 是一个群。证明：为G的一个二元运算显然，设是G中任意三个元，=。G中结合法满足结合律。又，易知2是的单位元。，直接验算得是在中的逆元。所以是一个群。22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，ab使ab=ba。证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而aa-1，取b= a-1，则ab=ba。23、设HG，a,bG，证明以下命题等价：（1）a-1bH,(2)baH,(3)aH=bH,(4)aHbH。证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。（1）=（2）：a-1bH = a-1b=h = b=ah = baH。（2）=（3）：baH = bhaH = bH 属于aH，另一方面，baH = b=ah = a=bh-1 = aH属于 bH，综上得aH=bH。（3）=（4）：aH=bH 显然有aHbH。（4）=（1）：aHbH = 存在 h1,h2H 使 ah1=bh2 = a-1b= h1h2-1= a-1bH 。24、叙述群的定义。答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。答：加群Zn与Z。26、整数环的商域（分式域）是什么域？答：有理数域。27、证明有理数域不包含真子域。答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q16