近世代数试题库.doc

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近世代数一、单项选择题1、若A=1,2,3,5,B=2,3,6,7,则=( )A、1,2,3,4 B、2,3,6,7C、2,3 D、1,2,3,5,6,7答案:C2、循环群与交换群关系正确的是( )A、循环群是交换群 B、交换群是循环群C、循环群不一定是交换群 D、以上都不对答案:A3、下列命题正确的是( )A、n次对换群的阶为 B、整环一定是域C、交换环一定是域 D、以上都不对答案:A4、关于陪集的命题中正确的是( )设H是G的子群,那么A、 对于有或B、C、D、 以上都对答案:D 5、设A=R(实数域), B=R+(正实数域) f:a10aaA 则 f是从A到B的( )A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射答案:D6、有限群中的每一个元素的阶都( )A、有限 B、无限 C、为零 D、为1答案:A7、整环(域)的特征为( )A、素数 B、无限 C、有限 D、或素数或无限答案:D8、若S是半群,则( )A、任意都有a(bc)=(ab)c B、任意都有ab=baC、必有单位元 D、任何元素必存在逆元答案:A9、在整环Z中,6的真因子是( ) A、 B、 C、 D、答案:B10、偶数环的单位元个数为( ) A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个答案:A11、设和都是非空集合,而是到的一个映射,那么( )A、集合中两两都不相同;B、的次序不能调换;C、中不同的元对应的象必不相同;D、一个元的象可以不唯一。答案:B12、指出下列那些运算是二元运算( )A、在整数集上,; B、在有理数集上,;C、在正实数集上,;D、在集合上,。答案:D13、设是整数集上的二元运算,其中(即取与中的最大者),那么在中( )A、不适合交换律; B、不适合结合律; C、存在单位元; D、每个元都有逆元。答案:C14、设为群,其中是实数集,而乘法,这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是( )A、0和; B、1和0; C、和; D、和。答案:D15、设和都是群中的元素且,那么( )A、; B、; C、; D、。答案:A16、设是群的子群,且有左陪集分类。如果6,那么的阶( )A、6; B、24; C、10; D、12。答案:B17、设是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )A、的同态核是的不变子群; B、的不变子群的逆象是的不变子群; C、的子群的象是的子群; D、的不变子群的象是的不变子群。答案:D18、设是环同态满射,那么下列错误的结论为( )A、若是零元,则是零元; B、若是单位元,则是单位元;C、若不是零因子,则不是零因子;D、 若是不交换的,则不交换。答案:C19、下列正确的命题是( )A、欧氏环一定是唯一分解环; B、主理想环必是欧氏环;C、唯一分解环必是主理想环; D、唯一分解环必是欧氏环。答案:A20、若是域的有限扩域,是的有限扩域,那么( )A、; B、;C、; D、答案:D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和( ) 。答案:传递性2、设A,B都为有限集,且则( ).答:mn3设是集合A平面上所有直线上的关系:或 (),则( )等价关系。答:是4、设群G中的元素的阶为m,则的充要条件是( )。答:5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是( )。答:有6、次对称群的阶是( )。答:7、设是有限群,是的子群,且在中的指数为,则( )。答:8、设G是一个群,e是G的单位元,若且a=a,则( )答:a=e9、最小的数域是( )。答:有理数域10、设集合A=1,2,则AA=( ),2A( )。答:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),1,2,1,211、设是A的一个变换,则( )。答:12、设是集合A上的等价关系,( )等价关系。答:是13、若群G中每一个元素都适合方程,则是( )群。答:交换群14、阶群是循环群的充要条件是( )。答:中存在阶的元素15、设是有限循环群,则是的同态象的充要条件是( )。答:16、如果环R的乘法满足交换律,即,有,则称R为()环答:交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做( )环。答:数环18、设有限域的阶为81,则的特征( )。答:319、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于( )。答:2520、一个有单位元的无零因子( )称为整环。答:交换环21、如果710002601是一个国际标准书号,那么( )。答:622.剩余类加群Z12有 ( )个生成元.答:623、设群G的元a的阶是n,则ak的阶是( )答:n/(k,n)((k,n)表示k和n的最大公约数)24、6阶循环群有 ( )个子群.答:326、模8的剩余类环Z8的子环有( ) 个.答:627、设集合;,则有( )。答:28、如果是与间的一一映射,是的一个元,则( )。答:29、设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么( )。答:31、凯莱定理说:任一个子群都同一个( )同构。答:变换群32、给出一个5-循环置换,那么( )。答:33、若是有单位元的环的由生成的主理想,那么中的元素可以表达为( )。答:34、若是一个有单位元的交换环,是的一个理想,那么是一个域当且仅当是( )。答:一个最大理想35、整环的一个元叫做一个素元,如果( )。答:p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子36、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域,如果( )。答:E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设与都是非空集合,那么。 ( )2、设、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。 ( )4、如果循环群中生成元的阶是无限的,则与整数加群同构。 ( )5、如果群的子群是循环群,那么也是循环群。 ( )6、群的子群是不变子群的充要条件为。( )7、如果环的阶,那么的单位元。 ( )8、若环满足左消去律,那么必定没有右零因子。 ( )9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 ( )10、若域的特征是无限大,那么含有一个与同构的子域,这里是整数环, 是由素数生成的主理想。 ( ) 四、解答题1、A=数学系的全体学生,规定关系R:,证明R是A的一个等价关系。答案:自反性: 自己与自己显然在同一个班级对称性:若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性:若a与b同在一个班级, b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率?(等式右边指的是普通数的运算)答:因为对于,有,根据实数的加法与乘法的运算率得。又。所以,R的代数运算既满足结合率,又满足交换率。3、设集合,求。答案:4、设,求关于子群的左陪集分解。答:,。因而,关于子群的左陪集分解为 。5、设半群既有左单位元,又有右单位元,证明,而且是的唯一单位元。答:证明(因是右单位元),(因是左单位元),得;若还有单位元,则,故是的唯一单位元。6、对于下面给出的Z到Z的映射 计算。答案:7、设是的不变子群,则,有。答:因是的不变子群,故对于,有,于是。8、设0是环的零元,则对于,。答:因为,有,由于关于加法作成群,即对于加法满足消去律,在上式中两边同时消去,得。同理可得。9、如果半群有一个左单位元,并且对于,存在左逆元,使得,则是一个群。答:,由条件知,有左逆元,使得,而对于在中也存在左逆元,使得,则有所以,的左逆元也是的右逆元,即在中有逆元,又由于,知是的单位元。故是一个群。10、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法左消去律成立。答:设环没有左零因子,如果有,则有,当时,由于没有左零因子,得,即,中关于乘法左消去律成立。反之,若在中关于乘法左消去律成立,如果,有,即,左消去得,即中非零元均不是左零因子,故为无零因子。11、若是的两个理想,则也是的一个理想。答:,则有,从而;。所以,是的一个理想。12、设,则H是G的一个子群,写出G关于H的所有左陪集的分解.答案:,因而,G关于H的左陪集的分解为.13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率?答:取则,又。所以,Q的代数运算既不满足结合率,又不满足交换率。14、设,求关于子群的右陪集分解。答:,。因而,关于子群的右陪集分解为 。15、设是有单位元的半群,若有左逆元,又有右逆元,则是可逆元,且是的唯一的逆元。答:证明由条件知,则有若都是的逆元,同理有故有唯一的逆元。16、设是环,则,有。答:由,得,同理,由,得。17、设是的子群,若对于,有,则是的不变子群。答:任取定,对于,由于,则存在,使得;,由于,故存在,使得。因此,对于,有。故是的不变子群。18、如果是半群,则是群的充分必要条件是:,方程和在中有解。答:必要性。因是群,则在中有逆元,则,分别代入方程和,有,即分别为方程和的解。充分性。因是半群,则是非空集合,取定,则方程在中有解,即存在中的元素,使得。下证是的左单位元。,方程和在中有解,即,于是,则是的一个左单位元。又,方程在中有解,即,得是的一个左逆元。从而得中的每一个元素都有左逆元。故是群。19、证明为无零因子环的充分必要条件是在环中关于乘法右消去律成立。答:设环没有左零因子,则也无右左零因子。于是由,得,当时,由于没有右零因子,得,即,中关于乘法右消去律成立。反之,若在中关于乘法右消去律成立,如果,有,即,右消去得,即中非零元均不是右零因子,故为无零因子。20、设为交换环,证明:是的理想。答:(1),则,从而,即。(2),有,由于为交换环,从而,即。因此是的理想。21、=(z,+),对规定结合法“” 证明 是一个群。证明:为G的一个二元运算显然,设是G中任意三个元,=。G中结合法满足结合律。又,易知2是的单位元。,直接验算得是在中的逆元。所以是一个群。22、设G是非Abel群,证明存在非单位元a,b,ab使ab=ba。证:利用元素和它的逆可交换,或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆(幂)不等。由于G是非Abel群,必有阶数大于2的元素a,因而aa-1,取b= a-1,则ab=ba。23、设HG,a,bG,证明以下命题等价:(1)a-1bH,(2)baH,(3)aH=bH,(4)aHbH。证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。(1)=(2):a-1bH = a-1b=h = b=ah = baH。(2)=(3):baH = bhaH = bH 属于aH,另一方面,baH = b=ah = a=bh-1 = aH属于 bH,综上得aH=bH。(3)=(4):aH=bH 显然有aHbH。(4)=(1):aHbH = 存在 h1,h2H 使 ah1=bh2 = a-1b= h1h2-1= a-1bH 。24、叙述群的定义。答:封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。25、列出2个群的实例,其中一个是有限群,另一个是无限群。答:加群Zn与Z。26、整数环的商域(分式域)是什么域?答:有理数域。27、证明有理数域不包含真子域。答案:有理数域Q的任何子域F一定含单位元1,因此F包含整数环Z,而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q,因此F=Q16
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