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,欢迎进入数学课堂,集合间的基本关系,1.集合的表示方法有、.2.元素与集合间的关系用符号或表示.3.(1)若A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，用列举法表示集合B.(2)用描述法表示集合A1,4,7,10,13,列举法,描述法,4,9,16.,x|x3n2，nN，n5,1.子集、真子集、集合相等的概念,任意一个,包含,xB,xA,AB且BA,2.空集(1)定义：的集合，叫做空集.(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的.3.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的，即.(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么.,不含任何元素,子集,AC,AA,子集,1.任何一个集合都是它本身的子集，对吗？【提示】正确，对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，即AA.2.包含关系aA与从属关系aA有什么区别？【提示】两者的区别是：(1)从符号上看，“”表示的是两个集合间的关系，而“”表示的是元素与集合间的关系；(2)a是含一个元素a的集合，而a通常表示一个元素；(3)aA表示a是A的一个子集，而aA表示a是A的一个元素.,两集合相等的应用,若0，a2，ab，则a2009b2010的值为.【思路点拨】先从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解.【解析】0，a2，ab，0.b0，此时有1，a,00，a2，a，a21，a1.当a1时，不满足互异性，a1.a2009b20101.【答案】1,(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等.(3)证明两个集合相等的思路是证：AB且BA.,1.Mx|x1a2，aR，Px|xa24a5，aR，试问M与P的关系怎样？【解析】aR，x1a21，xa24a5(a2)211，Mx|x1，Px|x1，MP,子集、真子集的概念问题,写出满足a，bAa，b，c，d的所有集合A.【思路点拨】解答本题可根据子集、真子集的概念求解.【解析】由题设可知，一方面A是集合a，b，c，d的子集，另一方面A又真包含集合a，b，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个.故满足条件的集合有a，b，c，a，b，d，a，b，c，d.,(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键.(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象.(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集和集合本身易漏掉.,2.已知集合AxN|1x4，且A中至少有一个元素为奇数，问：这样的集合A有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.【解析】这样的集合A共有11个.xN|1x40,1,2,3，又A0,1,2,3，且A中至少含有一个奇数，故A中只含有一个元素时，A可以为1，3.A中含有两个元素时，A可以为1,0，1,2，1,3，3,0，3,2.A中含有三个元素时，A可以为1,0,2，3,0,2，1,3,0，1,3,2.,（真）子集的综合应用,已知集合Ax|2x4，Bx|xa.若AB，求实数a的取值范围.【思路点拨】解答本题可采用数轴分析法，将集合A、B表示在数轴上，利用数轴分析a的取值.,【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为a|a4.,解决此类问题的常用方法是数形结合，首先将各个已知集合在数轴上画出来，以形定数，然后利用数轴分析，再结合(真)子集的定义，列出参数满足的不等式，进而求出参数的取值范围.值得注意的是要检验端点值是否满足题意，做到准确无误.,3.(1)本例中AB换成AB，Ax|2x4，则a的取值范围又是什么？(2)本例中，若集合Bx|2a9xa，其他条件不变，则a的取值范围又如何呢？【解析】(1)将集合A表示在数轴上.,要使AB，需a4.所以所求a的取值范围为a4.(2)由于AB，A，所以B.,由数轴知，解得4a.故所求a的取值范围是4a.,1.子集、真子集的概念的理解(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合.如A，则集合A不含B中的任何元素.(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如Aa，b，Bb，c，d；其二是，A包含B，如Aa，b，c，Bb，c.,2.集合相等(1)集合相等的定义有两方面含义：若AB且BA，那么AB；若AB，那么AB且BA.(2)证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而AB；若A、B是无限集，欲证AB，只需证AB与BA都成立即可.,3.注意一些容易混淆的符号(1)与的区别：表示元素与集合之间的关系，因此有0N，但0N；表示集合与集合之间的关系，因此有NR，R.(2)a与a的区别：一般地a表示一个元素，而a表示只有一个元素的集合，因此有11,2,3,00，11,2,3等，不能写成11,2,3,00，11,2,3.(3)0与的区别：0是仅含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，因此有0，不能写成0，0等.,若集合Ax|x2x60，Bx|mx10，且BA，求m的值.【错解】Ax|x2x603,2.BA，mx10的解为3或2.当mx10的解为3时，由m(3)10，得m；当mx10的解为2时，由m210得m.综上所述，m或m.,【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法.原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为的可能，而漏掉解.因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现的可能.【正解】Ax|x2x603,2.BA，当B时，m0适合题意.当B时，方程mx10的解为x，,则3或2，m或m综上可知，所求m的值为0或或,1.集合0,1的子集有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D,2.下列各式中，正确的是()A.2x|x3B.2x|x3C.2x|x3D.2x|x3【解析】2表示一个元素，x|x3表示一个集合，但2不在集合中，故2x|x3，A、C不正确，又集合2x|x3，故D不正确.【答案】B3.集合A1与集合Bx|x24x30的关系为.【答案】AB,4.已知集合AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)0要使APB，求满足条件的集合P.【解析】由题意得，AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)01,1，4，由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：1或1或4或1,1或1，4或1，4或1,1，4.,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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