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第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一圆的有关概念与性质,1.(2018湖南邵阳,6,3分)如图所示,四边形ABCD为O的内接四边形,BCD=120,则BOD的大小是()A.80B.120C.100D.90,解题关键本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.,思路分析根据圆内接四边形的性质求出A,再根据圆周角定理解答.,答案B四边形ABCD为O的内接四边形,BAD=180-BCD=60,由圆周角定理得,BOD=2A=120,故选B.,2.(2018湖南张家界,6,3分)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=()A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm,答案A因为AB是O的直径,弦CDAB于点E,所以根据垂径定理可得EC=ED=CD=4cm,所以在RtOEC中,根据勾股定理可得OE=3cm,所以AE=AO+OE=8cm.,3.(2017湖南张家界,3,3分)如图,在O中,AB是直径,AC是弦,连接OC,若ACO=30,则BOC的度数是()A.30B.45C.55D.60,答案DOA=OC,A=ACO=30,BOC=2A=230=60.,思路分析先根据等腰三角形的性质得出A的度数,再根据圆周角定理求出BOC的度数.,4.(2016湖南张家界,6,3分)如图,AB是O的直径,BC是O的弦,若OBC=60,则BAC的度数是()A.75B.60C.45D.30,答案DAB是O的直径,ACB=90,又OBC=60,BAC=180-ACB-ABC=180-90-60=30.故选D.,思路分析根据AB是O的直径可得出ACB=90,再根据三角形内角和为180以及OBC=60,即可求出BAC的度数.,解题关键本题考查了圆周角定理以及角的计算,解题的关键是得出ACB=90,即直径所对的圆周角为90.,5.(2015湖南株洲,6,3分)如图,圆O是ABC的外接圆,A=68,则OBC的大小是()A.22B.26C.32D.68,答案A由题可知BOC=2A=136,BO=OC,OBC=OCB=22,故选A.,思路分析先根据圆周角定理即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求出BOC的度数,再根据等腰三角形的性质得出OBC的度数.,审题技巧在圆中,可通过圆心角的度数求同弧所对的圆周角的度数,也可通过圆周角的度数求同弧所对的圆心角的度数.,6.(2015湖南湘潭,7,3分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,若DAB=60,则BCD的度数是()A.60B.90C.100D.120,答案D四边形ABCD是O的内接四边形,DAB+BCD=180,DAB=60,BCD=180-60=120.故选D.,思路分析根据圆内接四边形的对角互补求出答案.,解题关键本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.,7.(2015湖南永州,6,3分)如图,P是O外一点,PA、PB分别交O于C、D两点,已知和所对的圆心角分别为90和50,则P=()A.45B.40C.25D.20,答案D和所对的圆心角分别为90和50,A=25,ADB=45,P+A=ADB,P=ADB-A=45-25=20.故选D.,思路分析根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得ADB和CAD的度数,再由三角形外角的性质求解.,易错警示不会合理运用圆周角定理;不理解三角形外角的性质.,8.(2017湖南长沙,15,3分)如图,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=6,EB=1,则O的半径为.,答案5,解析连接OC,设圆O的半径为r,则OE=r-1,根据垂径定理可得CE=3,在RtOCE中,由勾股定理可得,CE2+OE2=OC2,即32+(r-1)2=r2,解得r=5.故O的半径为5.,方法总结在已知直径与弦垂直的问题中,通常连接半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,从而运用勾股定理来计算.,9.(2017湖南湘潭,13,3分)如图,在O中,已知AOB=120,则ACB=.,答案60,解析AOB=120,点C在O上,ACB=AOB=60.,10.(2016湖南株洲,25,10分)已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点,过点D的直线交AC于E点,且AEF为等边三角形.(1)求证:DFB是等腰三角形;(2)若DA=AF,求证:CFAB.,证明(1)AB是O的直径,ACB=90,AEF为等边三角形,CAB=EFA=60,B=30,EFA=B+FDB,B=FDB=30,DFB是等腰三角形.(2)过点A作AMDF于点M,设AF=2a(a0),AEF是等边三角形,FM=EM=a,AM=a,在RtDAM中,AD=AF=2a,AM=a,DM=5a,DF=BF=6a,AB=AF+BF=8a,在RtABC中,B=30,ACB=90,AC=4a,AE=EF=AF=CE=2a,ECF=EFC,AEF=ECF+EFC=60,CFE=30,AFC=AFE+EFC=60+30=90,CFAB.,思路分析(1)由AB是O的直径,得到ACB=90,由AEF为等边三角形,得到CAB=E-FA=60,根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)过点A作AMDF于点M,设AF=2a(a0),根据等边三角形的性质得到FM=EM=a,AM=a,再根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出ECF=EFC,根据三角形内角和定理即可得到结论.,11.(2015湖南衡阳,26,8分)如图,AB是O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CEAD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形,并说明理由.,解析(1)证明:连接OD,点C、D为半圆O的三等分点,BOC=BOD,又BAD=BOD,BOC=BAD,AEOC,ADEC,OCEC,OC为O的半径,CE为O的切线.(2)四边形AOCD是菱形.理由如下:点C、D为半圆O的三等分点,AOD=COD=60,OA=OD=OC,AOD和COD都是等边三角形,OA=AD=DC=OC=OD,四边形AOCD是菱形.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2016湖南邵阳,9,3分)如图所示,AB是O的直径,点C为O外一点,CA,CD是O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若ACD=30,则DBA的大小是()A.15B.30C.60D.75,答案DCA,CD是O的切线,A,D为切点,CAB=90,CA=CD,故CAD是等腰三角形.C=30,CAD=CDA=75,BAD=15,AB是O的直径,BDA=90.DBA=75,故选D.,2.(2016湖南湘西,18,4分)在RtABC中,C=90,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,2.5cm长为半径画圆,则C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定,答案A过C作CDAB于D,如图所示.在RtABC中,C=90,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm.ABC的面积=ACBC=ABCD,34=5CD,CD=2.4cm0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),半径OA=,O的周长为13.,方法规律如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,3.(2017云南,14,4分)如图,B、C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E、F两点,与线段AC交于D点.若BFC=20,则DBC=()A.30B.29C.28D.20,答案ABFC=20,BAC=2BFC=40,AB=AC,ABC=ACB=70.EF是线段AB的垂直平分线,AD=BD,ABD=A=40,DBC=ABC-ABD=70-40=30.故选A.,4.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则ADC的大小为()A.45B.50C.60D.75,答案C设ADC=x,则AOC=2x.四边形ABCO是平行四边形,B=AOC.B+D=180,x+2x=180.x=60.ADC=60.故选C.,5.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则ACB=()A.80B.90C.100D.无法确定,答案B根据同弧所对的圆周角相等,得到ACB=AOB=90,故选B.,6.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于()A.50B.80C.100D.130,答案D如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.AOC=100,ADC=AOC=50.ADC+ABC=180,ABC=180-50=130.故选D.,7.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC=.,答案2,解析连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30,因为=cos30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos60=4=2.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2017上海,17,4分)如图,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆,如果点C在A内,点B在A外,且B与A内切,那么B的半径长r的取值范围是.,答案8r10,解析C=90,AC=3,BC=4,AB=5.A与B内切,且点B在A外,r-rA=AB,r=5+rA.3rA5,80).AEEB=CEED,51=9x5x,x=.,CE=3,DE=.(5分)过点C作CFAB于点F,OC=CE=3,OF=EF=OE=1.BF=2.在RtOCF中,CFO=90,CF2+OF2=OC2.CF=2.在RtCFB中,CFB=90,tanOBC=.(8分)CFAB,CFB=90.BP是O的切线,AB是O的直径,EBP=90,CFB=EBP.又EF=BE=1,CEF=PEB,CEFPEB.EP=CE=3.,DP=EP-ED=3-=.(10分),24.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4时,求优弧的长(结果保留);(3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.,解析(1)证明:连接OQ.(1分)AP,BQ分别与优弧相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90.又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO.(3分)AP=BQ.(4分)(2)BQ=4,OB=AB=8,Q=90,sinBOQ=.BOQ=60.(5分)OQ=8cos60=4,优弧的长为=.(7分)(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中心,OM=4.当点M在扇形COD的内部时,OMOC,40,由勾股定理可得BE2+CE2=BC2,(4x)2+(3x)2=100,解得x=2,CE=6.(ii)相切.理由:过点A作AFCD于点F,CEB=90,B+ECB=90,ACE+ECB=90,B=ACE,ACD=B,ACD=ACE,CA平分DCE,AFCD,AECE,AF=AE,直线CD与A相切.,解题关键本题考查圆的综合问题,涉及等量代换,勾股定理,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数等知识,知识点较综合,需要学生灵活运用所学知识解决问题.,A组20162018年模拟基础题组考点一圆的有关概念与性质,三年模拟,1.(2018湖南长沙二模,8)如图,O是ABC的外接圆,OCB=40,则A的度数为()A.60B.80C.40D.50,答案D在OBC中,OB=OC,OCB=40,OBC=40,根据三角形内角和等于180知BOC=100,A=BOC=50,故选D.,2.(2017湖南长沙二模,11)如图,CD是O的直径,AB是O的弦,已知1=30,则2的度数为()A.30B.45C.60D.70,答案C连接AD,CD是O的直径,CAD=90.在RtACD中,CAD=90,1=30,DAB=60.又DAB=2,2=60.,3.(2016湖南长沙南雅中学一模,11)如图,A,B,P是半径为2的O上的三点,APB=45,则弦AB的长为()A.2B.4C.D.2,答案D连接OA,OB,APB=45,AOB=2APB=90,OA=OB=2,AB=2.故选D.,4.(2016湖南张家界三模,6)如图,AB为O的直径,CD为O的弦,ABD=53,则BCD=()A.37B.47C.45D.53,答案A连接AC,AB是O的直径,BCA=90,又ACD=ABD=53,BCD=ACB-ACD=90-53=37.故选A.,思路分析连接AC,由AB是O的直径可得直角,根据同弧所对的圆周角相等可得ACD的度数,利用两角差可得答案.,解题关键本题考查了圆周角定理;直径在题目已知中出现时,往往要利用其所对的圆周角是直角这一结论,做题时注意应用,连接AC是正确解答本题的关键.,5.(2016湖南湘潭一模,6)如图,AB是O的直径,AOC=130,则D=()A.25B.65C.15D.35,答案A如图,连接AD,AOC=2ADC=130,ADC=65,AB是O的直径,ADB=90,BDC=ADB-ADC=90-65=25,故选A.,6.(2018湖南长沙一模,16)如图,AB是O的直径,C、D为圆O上的两点,若CDB=35,则ABC的度数为度.,答案55,解析AB是O的直径,由圆周角定理可知ACB=90,则A+ABC=90,由在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可知A=CDB=35,由此得ABC=90-A=55,故答案为55.,7.(2018湖南株洲模拟,15)如图,在O中,弦ABCD,若ABC=35,则BOD=.,答案70,解析ABCD,C=ABC=35,BOD=2C=70.故答案为70.,8.(2016湖南益阳模拟,22)如图,已知ABC内接于O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CFBD,连接BF.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.,解析(1)证明:AD是O的直径,ABD=ACD=90,在RtABD和RtACD中,RtABDRtACD,BAD=CAD,在ABE和ACE中,ABEACE,BE=CE.(2)四边形BFCD是菱形.理由:由(1)知ABEACE,AEB=AEC=90.CFBD,FCE=DBE,在BED和CEF中,BEDCEF,BD=CF,四边形BFCD是平行四边形,BAD=CAD,BD=CD,四边形BFCD是菱形.(3)ABD=BED=90,EBD+BDE=90,BAD+BDA=90,BAD=EBD,CAE=BAD,CAE=DBE.又AEC=BED,AECBED.CEBE=DEAE,又CE=BE,CE2=DEAE,设DE=x,BC=8,AD=10,CE=BC=4,AE=10-x,42=x(10-x),解得x=2或x=8(舍去),在RtCED中,CD=2.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2018湖南株洲模拟,6)如图,AB是O的直径,直线PA与O相切于点A,PO交O于点C,连接BC.若P=40,则ABC的度数为()A.20B.25C.40D.50,答案BAB是O的直径,直线PA与O相切于点A,PAO=90.又P=40,POA=50,ABC=POA=25.故选B.,2.(2018湖南长沙麓山国际实验学校模拟,18)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,A与x轴相切于B,与y轴交于C(0,1)、D(0,4)两点,则点A的坐标是.,答案,解析过点A作AMCD,连接AB、AC.A与x轴相切于点B,与y轴交于C(0,1),D(0,4)两点,OC=1,CD=3,DM=CM=1.5,OM=AB=2.5,A的半径R=2.5,AC=2.5,AM=2,即点A的坐标是.,3.(2016湖南长沙六模,17)如图,PA、PB是O的切线,Q为上一点,过点Q的直线MN与O相切.已知PA=4,则PMN的周长=.,答案8,解析由切线长定理可知,PA=PB=4,AM=MQ,QN=NB,PMN的周长=PM+MQ+QN+PN=PM+AM+NB+PN=PA+PB=2PA=8.,4.(2018湖南长沙麓山国际实验学校模拟,24)如图,在ABC中,C=90,AC=3,AB=5,点O在BC边的中线AD上,O与BC相切于点E,且OBA=OBC.(1)求证:AB为O的切线;(2)求O的半径;(3)求tanBAD.,解析(1)证明:如图,作OF垂直AB于点F,O与BC相切于点E,OEBC,又OBA=OBC,OE=OF,AB为O的切线.(2)C=90,AC=3,AB=5,BC=4,又D为BC的中点,CD=DB=2,设O的半径为r,SACD+SDOB+SAOB=SABC,即ACCD+BDr+ABr=ACBC,6+2r+5r=12,r=.O的半径为.(3)C=90,OEBC,OEAC,RtODERtADC,=,即=,DE=,BF=BE=,AF=AB-BF=5-=,tanBAD=.,思路分析(1)作OF垂直AB于点F,然后根据角平分线的性质定理即可证得OE=OF,从而证得结论;(2)根据勾股定理求得BC的长,进而求得CD=DB=2,设O的半径为r,然后根据SACD+SDOB+SAOB=SABC得到ACCD+BDr+ABr=ACBC,解关于r的方程即可求得O的半径长;(3)易证得RtODERtADC,根据相似三角形的性质求得DE=,即可求得BF=BE=,AF=AB-BF=,即可求得tanBAD的值.,5.(2018湖南衡阳模拟,25)如图,在RtABC中,C=90,ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知AB=10,BC=6,求O的半径r.,解析(1)证明:连接OD.OB=OD,OBD=ODB(等边对等角).BD平分ABC,ABD=DBC,ODB=DBC(等量代换),ODBC(内错角相等,两直线平行).又C=90(已知),ADO=90(两直线平行,同位角相等),ACOD,AC是O的切线.(2)由(1)知,ODBC,=,=,解得r=,即O的半径r为.,思路分析(1)连接OD.欲证AC是O的切线,只需证明ACOD即可;(2)利用平行线截线段成比例推知=,然后将图中线段间的和差关系代入该比例式,通过解方程即可求得r的值.,6.(2016湖南株洲一模,24)如图,AB是O的直径,OD弦BC于点F,交O于点E,连接CE、AE、CD,若AEC=ODC.(1)求证:直线CD为O的切线;(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.,解析(1)证明:连接OC,CEA=CBA,AEC=ODC,CBA=ODC,又CFD=BFO,DCB=BOF,CO=BO,OCF=B,B+BOF=90,OCF+DCB=90,CDOC,直线CD为O的切线.,(2)连接AC,AB是O的直径,ACB=90,DCO=ACB,又由(1)知D=B,OCDACB,ACB=90,AB=5,BC=4,AC=3,=,即=,解得CD=.,思路分析(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出OCF+DCB=90,即可得证;(2)利用直径所对的圆周角为直角得出ACB=90,利用相似三角形的判定与性质得出CD的长.,解题技巧证切线的常用方法:连半径,证垂直,即证OCD=90即可,结合已知及圆的性质易证.而求线段的长可用解直角三角形,相似或全等,本题所给线段AB,BC与CD不在同一三角形中,且结合(1)易证OCDACB,即利用相似可求CD的长.,解答题(共80分),B组20162018年模拟提升题组(时间:45分钟分值:80分),1.(2018湖南娄底模拟,25)如图,在O中,AB为直径,OCAB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点E,且EF=ED.(1)求证:DE是O的切线;(2)若tanA=,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若OF=1,求圆O的半径.,解析(1)证明:连接OD,如图.EF=ED,EFD=EDF.EFD=CFO,CFO=EDF.OCOF,OCF+CFO=90.OC=OD,OCF=ODF,ODC+EDF=90,即ODE=90,ODDE.点D在O上,DE是O的切线.(2)线段AB、BE之间的数量关系为AB=3BE.证明如下:AB为O的直径,ADB=90,ADO=BDE.OA=OD,ADO=A,BDE=A,又BED=DEA,EBDEDA,=.在RtABD中,tanA=,=,AE=2DE,DE=2BE,AE=4BE,AB=3BE.(3)设BE=x(x0),则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=x.OF=1,OE=1+2x.在RtODE中,由勾股定理可得:+(2x)2=(1+2x)2,x=-(舍去)或x=2,圆O的半径为3.,解题关键本题是有关圆的综合题,主要考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出EBDEDA是解答本题的关键.,2.(2018湖南长郡集团模拟,23)如图,AB是O的弦,D为半径OA的中点,过D作CDOA交弦AB于点E,交O于点F,且BC是O的切线.(1)求证:CE=CB;(2)连接AF,BF,求ABF的正弦值;(3)如果CD=15,BE=10,sinDAE=,求O的半径.,解析(1)证明:连接OB,BC是O的切线,OBBC.OBC=90,即OBA+CBE=90,OA=OB,OAB=OBA,又CDOA,DAE+DEA=90,又CEB=DEA,CBE=CEB,CE=CB.(2)连接OF,DCOA,且D为AO的中点,AF=OF,又OA=OF,AOF是等边三角形,ABF=AOF=30,sinABF=.(3)过点C作CGAB于点G,易证明ADECGE,又sinDAE=,=,CE=CB,BE=10,EG=BG=5,CE=13,CD=15,DE=2,AE=,AD=,OA=2AD=.O的半径为.,3.(2018湖南株洲模拟,25)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=CB,以AB为直径的O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交O于点G,DFDG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接GB,EF,求证:GBEF;(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.,解析(1)证明:连接BD.在RtABC中,ABC=90,AB=BC,A=C=45,AB为圆O的直径,ADB=90,即BDAC,AD=DC=BD=AC,CBD=C=45,A=FBD,DFDG,FDG=90,FDB+BDG=90,EDA+BDG=90,EDA=FDB,在AED和BFD中,A=FBD,AD=BD,EDA=FDB,AEDBFD(ASA),AE=BF.(2)证明:AEDBFD,DE=DF,EDF=90,EDF是等腰直角三角形,DEF=45,G=A=45,G=DEF,GBEF.(3)AE=BF,AE=1,BF=1,在RtEBF中,EBF=90,EB=2,BF=1,根据勾股定理得EF=,DEF为等腰直角三角形,EDF=90,cosDEF=,DE=,G=A,GEB=AED,GEBAED,=,即GEED=AEEB,GE=2,即GE=,则GD=GE+ED=.,思路分析(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出A与C的度数,根据AB为圆O的直径,利用圆周角定理得到ADB为直角,即BD垂直AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=AC,进而确定出A=FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证;(2)由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等及等腰直角三角形的性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行即可得证;(3)由(1)及已知得AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似,由相似得对应线段成比例,求出GE的长,由GE+ED求出GD的长即可.,4.(2017湖南长沙三模,23)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径作O交BC于点D,DEAC于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若ABC=60,O的半径r=4,求CE的长.,解析(1)证明:如图,连接OD.AB=AC,ABC=ACB.OB=OD,ABC=ODB,ACB=ODB,ODAC.DEAC,DEOD.OD是O的半径,DE是O的切线.(2)ABC=60,AB=AC,ABC是等边三角形,ACB=60,BC=AB,CDE=30.AB为O的直径,ADB=90,ADC=90,DC=BC,r=4,AB=BC=8,DC=4.在RtDEC中,CDE=30,CE=CD=2.,5.(2017湖南长沙二模,23)如图,ABC内接于O,BD为O的直径,BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且A=EBC.(1)求证:BE是O的切线;(2)已知CGEB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BGBA=48,FG=,DF=2BF,求AH的值.,解析(1)证明:连接CD,BD是O的直径,BCD=90,即D+CBD=90.A=D,A=EBC,CBD+EBC=90,即DBE=90,BEBD,BE是O的切线.(2)CGEB,BCG=EBC,A=BCG.CBG=ABC,ABCCBG,=,即BC2=BGBA=48,BC=4.CGEB,CFBD,BFCBCD,BC2=BFBD.,DF=2BF,BF=4.在RtBCF中,CF=4,CG=CF+FG=5.在RtBFG中,BG=3,BGBA=48,BA=8,AG=5,CG=AG,A=ACG=BCG,又CFH=CFB=90,CHF=CBF,CH=CB=4.ABCCBG,=,AC=,AH=AC-CH=.,思路分析(1)连接CD,根据BD为O的直径,得出BCD=90,再结合“同弧所对的圆周角相等”,得出A=D,再用等量代换证明EBD=90.(2)先判定ABCCBG,BFCBCD,再结合勾股定理求出各线段的长度.,6.(2016湖南邵阳模拟,24)如图,AB是O的直径,C是O上一点,ODBC于点D,过点C作O的切线,交OD的延长线于点E,OE交O于点F,连接BE.(1)求证:BE与O相切;(2)连接AD并延长交BE于点G.若OB=9,sinABC=,求BG的长
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