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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式,一,二,思维辨析,一、二倍角的正弦、余弦和正切公式问题思考1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令=,将得到怎样的结果?,2.上述cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢?提示根据同角的三角函数关系式可得cos2=2cos2-1=1-2sin2.,一,二,思维辨析,3.填空:二倍角的正弦、余弦、正切公式,一,二,思维辨析,一,二,思维辨析,二、二倍角公式的变形问题思考1.若将1sin2中的“1”用sin2+cos2代换,那么1sin2可化为什么形式?提示1sin2=sin22sincos+cos2=(sincos)2.2.根据二倍角的余弦公式,sin,cos与cos2的关系分别如何?,3.填空:(1)1sin2=(sincos)2;(2)升幂缩角公式:1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2;,一,二,思维辨析,一,二,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用二倍角公式解决给角求值问题【例1】求下列各式的值:,分析对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin20,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用二倍角公式解决条件求值问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用二倍角公式解决化简与证明问题【例3】(1)化简:cos2(+15)+sin2(-15)+sin(+90)cos(90-);,分析(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos2与1+cos2运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视角的范围致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,5,1.下列各式中,不一定成立的是()A.sin8=2sin4cos4B.1-cos2=2sin2C.(sin+cos)2=1+sin2D.tan2=解析由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定成立.答案D,1,2,3,4,5,答案D,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
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