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第四章图形的认识4.4多边形与平行四边形,中考数学(福建专用),1.(2018福建,4,4分)一个n边形的内角和为360,则n等于()A.3B.4C.5D.6,A组2014-2018年福建中考题组,五年中考,答案B根据n边形的内角和公式,得(n-2)180=360,可求得n=4.,答案BDE是ABC的中位线,DEBC,DE=BC,又CFBD,四边形BCFD是平行四边形,DF=BC,DE=DF,DE=EF.,4.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则AOB等于度.,答案108,解析如图,正五边形中每一个内角都是108,OCD=ODC=180-108=72.COD=36.AOB=360-108-108-36=108.,3.(2016三明,4,4分)已知一个正多边形的一个外角为36,则这个正多边形的边数是()A.8B.9C.10D.11,答案C多边形外角和为360,正多边形每一个外角度数相等,故正多边形的边数=36036=10.,5.(2016泉州,17,4分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,E是AD中点,EFBC于点F,BC=5,EF=3.(1)若AB=DC,则四边形ABCD的面积S=;(2)若ABDC,则此时四边形ABCD的面积SS(用“”或“=”或“DC时,四边形ABCD的面积S=S.,6.(2014福州,14,4分)如图,在ABCD中,DE平分ADC,AD=6,BE=2,则ABCD的周长是.,答案20,解析四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BC=AD=6,BE=2,EC=4.又DE平分ADC,ADE=EDC.ADBC,ADE=DEC,DEC=EDC.CD=EC=4.ABCD的周长是2(6+4)=20.,评析本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题.,7.(2018福建,18,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.,证明四边形ABCD是平行四边形,OD=OB,ADBC,ODE=OBF.又DOE=BOF,DOEBOF,OE=OF.,解后反思本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.,B组20142018年全国中考题组考点一多边形,1.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是(),答案C设边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,2.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有()A.ADE=20B.ADE=30C.ADE=ADCD.ADE=ADC,答案D由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360,A=B=C,得ADC=360-3A,所以ADE=ADC,故选D.,评析本题考查了三角形和四边形的内角和定理,难点在于借助A来判断ADE和ADC之间的数量关系,属于基础题.,3.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则1+2+3+4+5=度.图1图2,答案360,解析任意n(n3)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5=360.,4.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为.,答案72,解析五边形ABCDE是正五边形,EAB=ABC=108,BA=BC,BAC=BCA=36,同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.,5.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则MON的度数是度.,答案72,6.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若AC=6,则四边形ABCD的面积为.,答案18,解析过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC=180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AEDACB,AE=AC=6,四边形ABCD的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD=ACAE=66=18.,一题多解本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至AED的位置,则AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+B=180,即EDA+ADC=180,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直角三角形,接下来同上.,7.(2015河北,19,3分)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则3+1-2=.,答案24,解析正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60、90、108、120,由题图可知3=90-60=30,1=120-108=12,2=108-90=18,所以3+1-2=30+12-18=24.,8.(2015广东广州,16,3分)如图,四边形ABCD中,A=90,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.,答案3,解析连接DN,因为点E,F分别为DM,MN的中点,所以EF是DMN的中位线,EF=DN.当点B、N重合时,DN有最大值=6,所以EF长度的最大值为3.,图2,9.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而=45是360(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.图2中的图案外轮廓周长是;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是.图1,答案14;21,解析题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,10.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180.(1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析(1)甲对,乙不对.(2分)=360,(n-2)180=360.解得n=4.(3分)=630,(n-2)180=630,解得n=.n为整数,不能取630.(5分)(2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分)解得x=2.(9分),评析本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一个常识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,考点二平行四边形1.(2018呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC=AD;A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种,答案C能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共三种.故选C.,2.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为()A.(-1,2)B.(,2)C.(3-,2)D.(-2,2),答案A如图,设AC与y轴交于点H.在AOBC中,ACOB,AHy轴,A(-1,2),AO=,由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO,AG=AO=,HG=AG-AH=-1,点G的坐标为(-1,2).故选A.,思路分析根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型,如下图,若存在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得出第三个.,3.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为()A.66B.104C.114D.124,答案C设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB,CAB=CAB=1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,评析折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义上说,折叠问题其实就是轴对称问题.,4.(2015浙江宁波,7,4分)如图,ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使ABECDF,则添加的条件不能为()A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.1=2,答案C四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,ABE=CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF;若添加BF=DE,易得BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF;若添加AE=CF,则为SSA,不可判定ABECDF;若添加1=2,则根据ASA可判定ABECDF.故选C.,5.(2015四川绵阳,7,3分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,CBD=90,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为()A.6B.12C.20D.24,答案D在RtCBE中,CE=5,AE=AC-CE=5,AE=CE=5,又BE=DE=3,四边形ABCD为平行四边形.SABCD=2SCBD=2BDBC=64=24.故选D.,6.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,且EF=AB;G、H是BC边上的点,且GH=BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是.,答案2S1=3S2,解析如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF=AB,S1=SABO,GH=BC,S2=SOBC,所以2S1=3S2.,7.(2017四川成都,14,4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;作射线AP,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为.,答案15,解析由作图知AQ平分DAB,在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA,所以DQ=DA=BC=3.因为DQ=2QC,所以DC=4.5.所以平行四边形ABCD的周长为2(4.5+3)=15.,8.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则EBC的度数为.,答案30,解析四边形ABCD是平行四边形,BCAD,ABDC,ABC=D,DAB+D=180,D=100,DAB=80,ABC=100.又DAB的平分线交DC于点E,EAD=EAB=40.AE=AB,ABE=(180-40)=70,EBC=ABC-ABE=100-70=30.,9.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.,答案(-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,10.(2015江苏镇江,8,2分)如图,在ABCD中,E为AD的中点,BE、CD的延长线相交于点F.若DEF的面积为1,则ABCD的面积等于.,答案4,解析在ABCD中,ABDC,AE=DE,ADBC,易证AEBDEF,FEDFBC,所以SAEB=SDEF=1,FD=FC,=,所以SCBF=4,所以SABCD=4.,11.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线;(2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析画法如图.(1)AF即为所求.(2)BF即为所求.,思路分析(1)(见答案第一个图)连接EC,通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的交点F为线段BD的中点,进而画出所求;(2)(见答案第二个图)连接EC,ED,连接点A与EC和BD的交点,利用三角形重心的性质及等腰三角形三线合一的知识画出ABD的AD边上的高.,解题关键本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等知识解决问题.,12.(2018贵州贵阳,20,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.(1)求证:AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求AFD的面积.,解析(1)证明:AE是BC边上的高,AEB=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EAD=AEB=90,AED是直角三角形.F是ED的中点,AF=EF=FD.AE与AF关于AG对称,AE=AF,AE=AF=EF,AEF是等边三角形.(2)由(1)知AEF是等边三角形,EFA=EAF=AEF=60.,又AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称,BAE=GAE=GAF=30,AGEF,设垂足为点N,B=90-BAE=60.在RtABE中,AE=ABsinB=,FD=AE=.在RtAEN中,AN=AEsinAEN=,SAFD=FDAN=.,13.(2016湖南长沙,22,8分)如图,AC是ABCD的对角线,BAC=DAC.(1)求证:AB=BC;(2)若AB=2,AC=2,求ABCD的面积.,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,DAC=BCA,又BAC=DAC,BAC=BCA,AB=BC.(2)连接BD交AC于O,AB=BC,且四边形ABCD为平行四边形,四边形ABCD为菱形,ACBD,BO2+OA2=AB2,即BO2+=22,BO=1,BD=2BO=2,SABCD=BDAC=22=2.,14.(2015辽宁沈阳,24,12分)如图,在ABCD中,AB=6,BC=4,B=60,点E是边AB上一点,点F是边CD上一点,将ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为H,点D的对应点为点G.(1)当点H与点C重合时.填空:点E到CD的距离是;求证:BCEGCF;求CEF的面积;(2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出MEF的面积.,解析(1)2.证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,D=B,A=BCD,由折叠可知,AD=CG,D=G,A=ECG,BC=GC,B=G,BCD=ECG,BCE=GCF,BCEGCF.过点E作EPBC于P,B=60,EPB=90,BEP=30,BE=2BP.,可设BP=m,则BE=2m,EP=BEsin60=2m=m.由折叠可知,AE=CE.AB=6,AE=CE=6-2m,BC=4,PC=4-m.在RtECP中,由勾股定理得(4-m)2+(m)2=(6-2m)2,m=,EC=6-2m=6-2=.BCEGCF,CF=EC=,SCEF=2=.(2)或4.,C组教师专用题组考点一多边形,1.(2018呼和浩特,3,3分)已知一个多边形的内角和为1080,则这个多边形是()A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形,答案B设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1080,解得n=8.故选B.,2.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为()A.360B.540C.720D.900,答案C由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知内角和为180(6-2)=720.故选C.,3.(2017辽宁沈阳,10,2分)正六边形ABCDEF内接于O,正六边形的周长是12,则O的半径是()A.B.2C.2D.2,答案B由正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,则BOC=60,所以BOC为等边三角形,所以OB=BC=2,即O的半径为2,故选B.,4.(2016江苏南京,5,2分)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为()A.1B.C.2D.2,答案B正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六边形的内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2sin60=,故选B.,5.(2016四川南充,10,3分)如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点M,N.给出下列结论:AME=108;AN2=AMAD;MN=3-;SEBC=2-1.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4,答案C如图,五边形ABCDE是正五边形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABDEA,AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正确;易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108,AEMADE,=,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正确;设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1=-1,x2=-1(不合题意,舍去),AD=-1+2=+1,MN=AN-AM=3-,故正确;作EHBC于点H,则BH=BC=1,EB=AD=+1,EH=,SEBC=BCEH=2=,故错误.故选C.,评析本题考查了正五边形的性质、相似多边形的判定及性质、勾股定理等知识.,6.(2017上海,18,4分)我们规定:一个正n边形(n为整数,n4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为n,那么6=.,答案,解析如图,在正六边形ABCDEF中,AD为最长对角线,AE为最短对角线,可求得EAD=30,AED=90,=cos30=,6=.,思路分析确定最长及最短对角线,构造直角三角形,利用锐角三角函数求,即6.,一题多解如图,设正六边形ABCDEF的边长为1,可求得AE=,AD=2,=,即6=.,7.(2015天津,17,3分)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有个.,答案8,解析题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C为顶点的小等边三角形,有BHM,AML,FLK,EKJ,DJI,CIH,共6个;第二类:分别以B,F,D和A,C,E为顶点的大等边三角形,有BFD和ACE,共2个.故题图中等边三角形共有6+2=8(个).,8.(2015浙江杭州,16,4分)如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,A=C=90,B=150.将纸片先沿直线BD对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD=.,答案2+4或2+,解析四边形纸片ABCD中,A=C=90,B=150,D=30.根据题意对折、裁剪、铺平后有两种情况得到平行四边形:如图1,剪痕BM、BN,过点N作NHBM于点H,易证四边形BMDN为菱形,且MBN=D=30.设BN=DN=x,则NH=x.根据题意,得xx=2x=2(负值舍去),BN=DN=2,NH=1.易证四边形BHNC是矩形,BC=NH=1.在RtBCN中,CN=.CD=2+.图1如图2,剪痕AE、CE,过点B作BHCE于点H,易证四边形BAEC是菱形,且BCH=30.设BC=CE,图2,=x,则BH=x.根据题意,得xx=2x=2(负值舍去),BC=CE=2,BH=1.在RtBCH中,CH=,EH=2-.易证BCDEHB,=,即=.CD=4+2.综上所述,CD=2+或4+2.,评析本题主要考查剪纸问题,多边形内角和定理,轴对称的性质,菱形、矩形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,分类思想和方程思想的应用.,9.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请,分别按下列要求画图.(1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析(1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考),(3分)(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可)(6分),10.(2015浙江温州,20,8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,18591942)证明了格点多边形的面积公式:S=a+b-1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+6-1=6.(1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;(2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其他格点.图1,图2图3,解析(1)画法不唯一,如图或图.(2)画法不唯一,如图,图等.,考点二平行四边形1.(2018乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积比为()A.B.C.D.,答案D四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点,=,=,=,=.,2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF,答案B当BE=DF时,如图1,易证AFDCEB,ABECDF,从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意;当AFCE时,如图1,则AFE=CEF,从而AFD=CEB,又因为ADF=CBE,AD=BC,所以AFDCEB,则AF=CE,所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意;,思路分析依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,3.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB的一个三等分点.则AOE与BMF的面积比为.,答案34,解析如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q,在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点,AOECOF.B=30,AB=AC,ACB=B=30.ACEF,在RtOFC中,设OF=x,则OC=x,FC=2x.SAOE=SOFC=OFOC=x2.AB=AC=2OC=2x,在RtABQ中,BQ=3x,BC=6x.BF=4x.点M是边AB的一个三等分点,MB=x.在RtBMP中,MP=MB=x,SBMF=BFMP=x2.SAOESBMF=34.,4.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.,答案2,解析在ABCD中,ADBC,DAE=AEB.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB.AB=BE=3.BC=(16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,5.(2015山东临沂,17,3分)如图,在ABCD中,连接BD,ADBD,AB=4,sinA=,则ABCD的面积是.,答案3,解析四边形ABCD为平行四边形,且ADBD,RtABDRtCDB.在RtABD中,AB=4,sinA=,BD=3,AD=SRtABD=ADBD=,于是SABCD=2SRtABD=2=3.,6.(2018云南,23,12分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的点,AF=AD+FC.平行四边形ABCD的面积为S,由A、E、F三点确定的圆的周长为l.(1)若ABE的面积为30,直接写出S的值;(2)求证:AE平分DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.,解析(1)60.(3分)(2)证明:延长AE,与BC的延长线交于点H.四边形ABCD是平行四边形,ADBC.ADE=HCE,DAE=CHE.(4分)点E为CD的中点,ED=EC.ADEHCE.AD=HC,AE=HE.AD+FC=HC+FC.由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.FAE=CHE.(6分)又DAE=CHE,DAE=FAE,AE平分DAF.(7分),(3)连接EF.AE=BE,AE=HE,AE=BE=HE.BAE=ABE,HBE=BHE.由(1)知DAE=CHE,BAE+DAE=ABE+HBE,即DAB=CBA.由四边形ABCD是平行四边形得DAB+CBA=180,CBA=90,(9分)AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,解得FC=.AF=FC+CH=+5=.AE=HE,AF=FH,FEAH.AF是AEF的外接圆的直径.AEF的外接圆的周长l=.(12分),思路分析(1)由SABE=S平行四边形ABCD可得.(2)延长AE、BC交于H,证ADEHCE,结合AF=AD+FC得AF=FH,从而得AE平分DAF.(3)先证CBA=90,再利用勾股定理求得FC,AF的长,最后确定AF为AEF外接圆的直径,进而求解.,解后反思利用“倍长中线”构造全等三角形是我们常用的方法,而求圆的周长需求其半径或直径,利用直角三角形的斜边为其外接圆直径即可求解.,7.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求ABE的面积;(2)若ACB=45,求证:DF=CG.,解析(1)AH=3,HE=1,AB=AE,AB=AE=AH+HE=4.BGAE,AHB=90.AB2=AH2+BH2.BH=.SABE=AEBH=4=2.(4分)(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,AD=BC,FAO=ECO.点O为AC的中点,AO=CO.在AOF和COE中,FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE,AOFCOE,AF=CE.,DF=BE.(6分)如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N.AMB=AME=GNC=GNB=90.AHB=AMB.AQH=BQM,QAH=GBN.AB=AE,AMBE,BAM=QAH,BM=ME.BAM=QAH=GBN.ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45.BAG=45+BAM,BGA=45+GBN,BAG=BGA.AB=GB.AB=AE,AE=BG.在AME和BNG中,AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG,AMEBNG.ME=NG.BE=2ME=2NG.在RtGNC中,GCN=45,CG=NG.CG=2NG,即BE=2NG=CG.DF=BE=CG.(10分),思路分析(1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得ABE的面积;(2)根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AMBC,过点G作GNBC,根据等腰三角形的性质得BAM=QAH,BM=ME=BE,通过求证BAM=GBN,可得BAG=BGA,进而可得AB=AE=BG,利用AMEBNG,得出NG=ME=BE,最后利用CG=NG得出DF=BE=CG.,方法指导对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.,8.(2016陕西,19,7分)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AFCE.,证明如图,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.1=2.(2分)又BF=DE,BF+BD=DE+BD.DF=BE.(4分)ADFCBE.(5分)AFD=CEB.AFCE.(7分),9.(2016山东青岛,21,8分)已知:如图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:ABECDF;(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,BAD=DCB.又AE=CF,ABECDF.(2)菱形.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AE=CF,AD-AE=BC-CF,即ED=BF,四边形BEDF是平行四边形,OB=OD.又DG=BG,OGBD.BEDF是菱形.,10.(2016江苏南京,24,7分)如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使FBC=DCE.(1)求证:D=F;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使BPCCDP(保留作图的痕迹,不写作法).,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC.CED=BCF.CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180,D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC.又DCE=FBC,D=F.(2)图中P就是所求作的点.,11.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.,证明四边形ABCD为平行四边形,ABCD.BAE=E.AE平分BAD,BAE=DAE.E=DAE,DA=DE.,12.(2016吉林,19,7分)图,图都是88的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,在每个正方形网格中标注了6个格点,这6个格点简称为标注点.(1)请在图,图中,以4个标注点为顶点,各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等);(2)图中所画的平行四边形的面积为.,(3)用文字叙述所证命题的逆命题为.,解析(1)CD.(1分)平行.(2分)(2)证明:连接BD.(3分)在ABD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,ABDCDB.(5分)1=2,3=4,ABCD,ADCB.(7分)四边形ABCD是平行四边形.(8分)(3)平行四边形的对边相等.(10分),A组20162018年模拟基础题组(时间:40分钟分值:60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2018南平质检,4)已知一个正多边形的内角是140,则这个正多边形的边数是()A.6B.7C.8D.9,答案D每个内角为140,每个外角为40,又外角和为360,36040=9.故正多边形为九边形.,三年模拟,答案B由题意得NFM=B,延长MF交CD于E,FNDC,MFN=MEC.MFAD,MEC=D,NFM=B=D.B+D+A+C=360,A=120,C=80,NFM=B=D=80.,3.(2018三明质检,9)如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC、AE,则的值是()A.B.C.D.2,答案B连接CE,正八边形内角和为1080,一个内角的度数为135,易得ACB=DCE=22.5,CA=CE,ACE=90,故ACE是等腰直角三角形,故=.,4.(2017福州质检,4)两个全等的正六边形如图摆放,与ABC面积不同的一个三角形是()A.ABDB.ABEC.ABFD.ABG,答案B根据正六边形中ABCDFG,可知ABD、ABF、ABG都与ABC同底等高,则面积相等,ABE与ABC同底不等高,故选B.,5.(2017莆田质检,4)下列图形中,内角和为540的多边形是(),答案C设n边形的内角和为540,则(n-2)180=540,解得n=5.,6.(2017莆田质检,7)平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可以是()A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm,答案B根据平行四边形对角线互相平分,以及三角形两边之和大于第三边求解.4+8=12,A错误;5+812,B正确;4+712,C错误;4+612,D错误.,二、填空题(每小题3分,共9分)7.(2016泉州质检,11)n边形的内角和等于900,则n=.,答案7,解析根据多边形内角和公式得,(n-2)180=900,解得n=7.,8.(2016泉州质检,15)如图,在ABCD中,BC=10,则AD的长为.,答案10,解析根据平行四边形对边相等可知AD=10.,9.(2017南平质检,14)如图,已知ADBC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加的一个条件是:.,答案AD=BC(答案不唯一),解析由平行四边形的判定方法知,需要增加的条件是AD=BC或ABCD或A=C或B=D.,三、解答题(共33分)10.(2018龙岩质检,18)如图,在ABCD中,E,F是对角线上的两点,且AE=CF,求证:DF=BE.,证明四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,CDAB.DCF=BAE,又AE=CF,DCFBAE(SAS),DF=BE.,11.(2018南平质检,19)如图,A,B,D三点在同一直线上,ABCBDE,其中点A,B,C的对应点分别是B,D,E,连接CE.求证:四边形ABEC是平行四边形.,证明ABCBDE,DBE=A,BE=AC,BEAC,四边形ABEC是平行四边形.,12.(2017宁德质检,19)如图,E,F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点,AEBD于点E,CFBD于点F.求证:AE=CF.,证明四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD.ABE=CDF.AEBD,CFBD,AEB=CFD=90.ABECDF.AE=CF.,13.(2017三明质检,19)如图,在ABCD中,E,F分别在边AD,BC上,且AE=CF,连接EF.请你只用无刻度的直尺画出线段EF的中点O,并说明这样画的理由.,解析连接AC交EF于点O,则点O就是EF的中点.理由:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,CAE=ACF,AEF=CFE.AE=CF,AOECOF.OE=OF.,B组20162018年模拟提升题组(时间:20分钟分值:25分)一、选择题(共3分)1.(2017惠安质检,9)如图,O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为()A.-B.-C.2-D.-,答案A由正六边形的性质可得,AOB是边长为2的等边三角形,阴影部分面积为AOB的面积减去半径为,圆心角为60的扇形面积,则S阴影=2-=-.,二、填空题(共3分)2.(2018宁德质检,13)小明同学在计算一个多边形的内角和时,由于粗心少算了一个内角,结果得到的总和是800,则少算的这个内角的度数为.,答案100,解析设这个多边形的边数为n,由题意得800(n-2)180980,解得6n7,又n为正整数,n=7,则(7-2)180-800=100.,三、解答题(共19分)3.(2017石狮质检,21)如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BC边上一点,只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F,使得DF=BE.(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程;(2)依据你的作图,证明:DF=BE.,解析(1)正确画出点F,具体作法如下:连接AC、BD相交于点O,连接EO并延长EO交AD于点F(或作射线EO交AD于点F),图略.(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,OD=OB,ADO=CBO,DFO=BEO,DFOBEO,DF=BE.,4.(2017福州质检,24)如图,ABCD中,AD=2AB,点E在BC边上,且CE=AD,F为BD的中点,连接EF.(1)当ABC=90,AD=4时,连接AF,求AF的长;(2)连接DE,若DEBC,求BEF的度数;(3)求证:BEF=BCD.,AF=BD=.(2)如图,AD=BC,AB=CD,CE=AD,AD=2AB,CD=2CE,BC=2CD,=.C=C,DCEBCD.CBD=CDE.在RtCDE中,sinEDC=,CBD=CDE=30.,
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