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第四章图形的认识4.4多边形与平行四边形,中考数学(浙江专用),1.(2016嘉兴,6,4分)已知一个正多边形的内角是140,则这个正多边形的边数是()A.6B.7C.8D.9,考点一多边形,A组2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案D设该正多边形有n条边,则(n-2)180=140n,解这个方程,得n=9,故选D.,2.(2015丽水,5,3分)一个多边形的每个内角均为120,则这个多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形,答案C解法一:多边形的每个内角均为120,每个外角的度数是180-120=60.多边形的外角和是360,这个多边形的边数是36060=6.故选C.解法二:设该多边形为n边形,则(n-2)180=120n,解得n=6.,3.(2017湖州,11,4分)已知一个多边形的每一个外角都等于72,则这个多边形的边数是.,答案5,解析一个多边形的每一个外角都等于72,此多边形为正多边形,多边形的外角和为360,所求多边形的边数为36072=5.,4.(2016金华,16,4分)由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF,相邻两钢管可以转动.已知各钢管的长度为AB=DE=1米,BC=CD=EF=FA=2米.(铰接点长度忽略不计)(1)转动钢管得到三角形钢架,如图1,则点A,E之间的距离是米;(2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架,有A=B=C=D=120,现用三根钢条连接顶点,使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是米.图1图2,答案(1)(2)3,解析(1)如图,连接AE.由题意可得FB=DF=3,又已知FA=FE=2,=,又F=F,FAEFBD,=,又BD=4,AE=,则点A,E之间的距离是米.(2)如图,由题意可知,BACDEC(SAS),BAC=DEC,AC=EC,又AF=FE,FC=FC,ACFECF(SSS),CAF=CEF,BAC+CAF=DEC+CEF,即BAF=DEF=120.AFE=(6-2)180-1205=120.,在以上条件下,通过判定三角形全等,可得到六边形中三组相等的对角线:AC=BF=DF=EC,BD=AE,BE=AD(六边形的对角线CF与其他对角线都不相等).作BNFA交FA的延长线于N,延长AB、DC交于点M.以下求BF、AE、BE、CF的长:FAB=120,BAN=60.在RtBAN中,BNA=90,AB=1,BAN=60,AN=AB=,BN=.在RtBFN中,FN=AN+AF=+2=,BN=,BF=.在等腰AFE中,AF=EF=2,AFE=120,可求得AE=2.易知BAE=90,在RtABE中,由AB=1,AE=2,可求得BE=.MBC=MCB=60,M=60,MBC为等边三角形.M+MAF=180,AFMC,又MC=BC=AF,四边形AMCF是平行四边形.CF=AM=3.,32,要用三根钢条连接顶点,使该钢架不能活动,且使三根钢条之和最短,只需三根钢条位于AC、BF、CE、DF中的任意三条线段处即可,所用三根钢条总长度的最小值为3.,关键提示本题难度较大,综合性强,主要考查三角形的稳定性、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等,解决本题的关键是作出辅助线,求出各对角线的长度.,5.(2015台州,16,5分)如图,正方形ABCD的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转,在旋转过程中,这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边),当这个六边形的边长最大时,AE的最小值为.,答案,解析连接AC,根据正方形的性质可得,AC=,则AO=,当正六边形的边长最大时,正六边形的大小如图所示,连接FI、AE、OE,易得FI=1,正六边形边长为,OE=,在旋转过程中,当O、A、E三点共线时,AE的长度最小,则AE的最小值为OA-OE=-=.,思路分析当正六边形EFGHIJ的边长最大时,对角线最长,分析知对角线最长为正方形边长,此时要使AE最小,只需六边形对角线EH与正方形对角线AC重合,由此即可解决问题.,方法总结解决此类题时,需理解题意,画出图形,化动为静.,评析本题考查的知识点有正方形、正六边形的性质,旋转的性质,最值问题,本题对学生的平面几何的想象能力要求较高,难度较大.,6.(2017宁波,26,14分)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,B=D,C=A,求B与C的度数之和.(2)如图2,锐角ABC内接于O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO.OBA的平分线交OA于点E,连接DE并延长交AC于点F,AFE=2EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形.(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DGOB于点H,交BC于点G.当DH=BG时,求BGH与ABC的面积之比.,解析(1)在半对角四边形ABCD中,B=D,C=A.A+B+C+D=360,3B+3C=360,B+C=120,即B与C的度数之和为120.(2)在BED和BEO中,BEDBEO(SAS).BDE=BOE.,又BCF=BOE,BCF=BDE.如图,连接OC.设EAF=,则AFE=2EAF=2.,EFC=180-AFE=180-2.OA=OC,OAC=OCA=,AOC=180-OAC-OCA=180-2.ABC=AOC=EFC.四边形DBCF是半对角四边形.(3)如图,连接OC,作OMBC于点M.四边形DBCF是半对角四边形,ABC+ACB=120,BAC=60.BOC=2BAC=120.OB=OC,OBC=OCB=30.BC=2BM=BO=BD,DGOB,HGB=BAC=60,DBG=CBA,DBGCBA,=.DH=BG,BG=2HG,DG=3HG.,评析该新定义题实现了特殊四边形与圆的完美融合,立意深刻,新颖脱俗.试题通过分层设问,逐步递进,将四边形的内角和、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、圆的基本性质、含30角的直角三角形的三边关系等核心知识与方程思想、转化思想等融合一体,该题综合考查了学生的阅读理解能力、观察分析能力、直观感知能力.,7.(2015温州,20,8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,18591942年)证明了格点多边形的面积公式:S=a+b-1(方格纸上小方格的面积为1),其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+6-1=6.(1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;(2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其他格点.图1图2图3,解析(1)画法不唯一,如图或图,图中的格点正方形的面积分别为9,5.(2)画法不唯一,如图,图.,1.(2017丽水,7,3分)如图,在ABCD中,连接AC,ABC=CAD=45,AB=2,则BC的长是()A.B.2C.2D.4,考点二平行四边形的性质,答案C四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=2,BC=AD,D=ABC=CAD=45,AC=CD=2,ACD=90,即ACD是等腰直角三角形,BC=AD=2.故选C.,2.(2016丽水,7,3分)如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则OBC的周长为()A.13B.17C.20D.26,答案B四边形ABCD是平行四边形,AC=6,BD=12,OA=OC=3,OB=OD=6.又BC=AD=8,OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17.故选B.,3.(2016衢州,5,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,M是BC延长线上的一点.若A=135,则MCD的度数是()A.45B.55C.65D.75,答案A四边形ABCD是平行四边形,BCD=A=135,MCD=180-BCD=180-135=45.故选A.,4.(2015衢州,4,3分)如图,在ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分BAD交BC边于点E,则CE的长等于()A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm,答案C四边形ABCD是平行四边形,BC=AD=12cm,ADBC,DAE=BEA,AE平分BAD,BAE=DAE,BEA=BAE,BE=AB=8cm,CE=BC-BE=4cm,故选C.,解题关键利用角平分线和平行四边形的性质得出BEA=BAE是解题的关键.,1.(2016绍兴,7,4分)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是()A.B.C.D.,考点三平行四边形的判定,答案D带不能确定平行四边形任一边长;带或只能确定平行四边形一对对边边长;带可以确定平行四边形玻璃的原貌,故选D.,2.(2017温州,21,10分)如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,O(圆心O在ABC内部)经过B、C两点,交AB于点E,过点E作O的切线交AC于点F,延长CO交AB于点G,作EDAC交CG于点D.(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;(2)若BC=3,tanDEF=2,求BG的值.,解析(1)证明:连接OE.AC=BC,ACB=90,B=45,COE=90.EF与O相切,FEO=90,COE+FEO=180,EFCO.DECF,四边形CDEF是平行四边形.(2)过点G作GHCB于点H.ACB=90,ACGH,FCD=CGH.在CDEF中,DEF=FCD,DEF=CGH,tanCGH=tanDEF=2,=2.B=45,GH=BH,CH=2BH.BC=3,BH=GH=1,BG=.,思路分析(1)连接EO,通过切线证明EFCO,结合DECF证得四边形CDEF是平行四边形.(2)过G作GHBC,由(1)可证明CGH=DEF,结合tanDEF=2,B=45,BC=3求出BH,GH的长,从而求BG.,3.(2017嘉兴、舟山,23,10分)如图,AM是ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DEAB交AC于点F,CEAM,连接AE.(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BHAC,且BH=AM.当FH=,DM=4时,求DH的长.,解析(1)证明:DEAB,EDC=ABD.CEAM,ECD=AMB.又AM是ABC的中线,且D与M重合,BD=DC,ABDEDC,AB=ED,又ABED,四边形ABDE为平行四边形.(2)结论成立,理由如下:过点M作MGDE交EC于点G.,CEAM,四边形DMGE为平行四边形,ED=GM且EDGM,由(1)可得AB=GM且ABGM,AB=ED且ABED.,四边形ABDE为平行四边形.(3)取线段HC的中点I,连接MI,MI是BHC的中位线,MIBH,MI=BH.又BHAC,且BH=AM,MI=AM,MIAC,CAM=30.设DH=x,则AH=x,AD=2x,AM=4+2x,BH=4+2x,由(2)已证四边形ABDE是平行四边形,FDAB,=,即=,解得x=1+或x=1-(不合题意,舍去).DH=1+.,关键提示本题是平行四边形的综合题,考查平行四边形的判定和性质,用到了三角形全等的知识.对于第(3)问,关键是构造三角形中位线,利用边的关系得出含特殊角的直角三角形.,4.(2016温州,20,8分)如图,在方格纸中,点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点四边形,使P在四边形内部(不包括边界),且P到四边形的两个顶点的距离相等.(1)在图甲中画出一个ABCD;(2)在图乙中画出一个四边形ABCD,使D=90,且A90.,解析(1)画法不唯一,如图,等.(2)画法不唯一,如图,等.,5.(2016嘉兴,22,12分)如图1,已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形.EHFG四边形EFGH是平行四边形,(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F、G、H仍是BC、CD、DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的55网格中,点A、C、B都在格点上,在格点上找一点D,使以点C与BC、CD、DA的中点F、G、H为顶点的四边形CFGH是正方形,画出点D,并求正方形CFGH的边长.,解析(1)连接BD,C,H是AB,AD的中点,CH为ABD的中位线,CHBD且CH=BD,同理,FGBD且FG=BD,CHFG且CH=FG.四边形CFGH为平行四边形.(2)点D的位置如图所示.连接BD,则FG是CBD的中位线,BD=,FG=BD=,正方形CFGH的边长为.,方法指导(1)连接BD,利用三角形中位线的性质进行证明.(2)联想(1)中图形,D点需满足BDAB,进而利用勾股定理和三角形中位线性质求解.,1.(2017河北,16,2分)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作:将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是()A.1.4B.1.1C.0.8D.0.5,B组2014-2018年全国中考题组,考点一多边形,答案C在第一次旋转过程中,BM=1;在第二次旋转过程中,点M位置不变,BM=1;在第三次旋转过程中,BM的长由1逐渐变小为-1;在第四次旋转过程中,点M在以点E为圆心,为半径的圆弧上,BM的长由-1逐渐变小为2-,然后逐渐变大为-1;在第五次旋转过程中,BM的长由-1逐渐变大为1;在第六次旋转过程中,点M位置不变,BM=1.显然连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是0.8,故选C.,解题关键解决本题的关键是求出每个旋转过程中BM长的变化范围.,2.(2015江苏镇江,23,6分)图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形正八边形.(1)如图2,AE是O的直径,用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的情形下,连接OD.已知OA=5,若扇形OAD(AODAB,E、F是AB边上的点,且EF=AB;G、H是BC边上的点,且GH=BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是.,答案2S1=3S2,解析如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF=AB,S1=SABO,GH=BC,S2=SOBC,所以2S1=3S2.,4.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.,证明四边形ABCD为平行四边形,ABCD.BAE=E.AE平分BAD,BAE=DAE.E=DAE,DA=DE.,1.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF,考点三平行四边形的判定,答案B当BE=DF时,如图1,易证AFDCEB,ABECDF,从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意;当AFCE时,如图1,则AFE=CEF,从而AFD=CEB,又因为ADF=CBE,AD=BC,所以AFDCEB,则AF=CE,所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意;当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF,可得AEB=CFD,AE=CF,所以AEF=CFE,所以AECF,则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.图1图2,思路分析依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,2.(2015江苏连云港,5,3分)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()A.当AD=BC,ABDC时,四边形ABCD是平行四边形B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD,ACBD时,四边形ABCD是正方形,答案B判断四个说法的对错时,可画出图形,根据图形作出判断.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,选项B正确,故选B.,3.(2015河北,22,10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.,已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=.求证:四边形ABCD是四边形.(1)在方框中填空,以补全已知和求证;(2)按嘉淇的想法写出证明;证明:,(3)用文字叙述所证命题的逆命题为.,解析(1)CD.(1分)平行.(2分)(2)证明:连接BD.(3分)在ABD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,ABDCDB.(5分)1=2,3=4,ABCD,ADCB.(7分)四边形ABCD是平行四边形.(8分)(3)平行四边形的对边相等.(10分),1.(2014广东,5,3分)一个多边形的内角和是900,这个多边形的边数是()A.10B.9C.8D.7,C组教师专用题组,考点一多边形,答案D设这个多边形的边数为x,则180(x-2)=900,解得x=7,故选D.,2.(2014安徽,23,14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于N.(1)MPN=;求证:PM+PN=3a;(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON.求证:OM=ON;(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是不是特殊四边形,并说明理由.图1图2图3,解析(1)60.(2分)证明:如图1,连接BE交MP于H点.在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF.又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)图1(2)证明:如图2,连接BE,由(1)知AM=EN.又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAONEO.所以OM=ON.(9分),图2(3)四边形OMGN是菱形.理由如下:如图3,连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE.因为AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120.(11分)由于OG平分MON,所以MOG=60,又FOA=60,所以MOA=GOF.又AO=FO,MAO=GFO=60,所以MAOGFO.所以MO=GO.,又MOG=60,所以MGO为等边三角形.同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分)图3,关键提示本题是一道综合题,解题的关键是恰当地作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.,1.(2014福建福州,14,4分)如图,在ABCD中,DE平分ADC,AD=6,BE=2,则ABCD的周长是.,考点二平行四边形的性质,答案20,2.(2014嘉兴,20,8分)已知:如图,在ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.(1)求证:DOEBOF;(2)当DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.,解析(1)证明:在ABCD中,O为对角线BD的中点,BO=DO,EDO=FBO,在EOD和FOB中,DOEBOF(ASA).(2)当DOE=90时,四边形BFDE为菱形.理由:DOEBOF,BF=DE,又BFDE,四边形BFDE是平行四边形,BO=DO,当DOE=90时,EB=DE,当DOE=90时,四边形BFDE为菱形.,评析此题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识.,3.(2015上海,23,12分)已知:如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DEBE;(2)如果OECD,求证:BDCE=CDDE.,证明(1)OE=OB,OBE=OEB.平行四边形ABCD的对角线相交于点O,OB=OD.OE=OD.ODE=OED.在BDE中,OBE+OEB+OED+ODE=180,BED=90,即DEBE.(2)OECD,CDE+DEO=90.又CEO+DEO=90,CDE=CEO.OBE=OEB,OBE=CDE.BED=DEC,DBECDE.=.BDCE=CDDE.,4.(2014山东青岛,21,8分)已知:如图,ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证:AODEOC;(2)连接AC,DE,当B=AEB=时,四边形ACED是正方形?请说明理由.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC.D=OCE,DAO=E.又OC=OD,AODEOC.(4分)(2)当B=AEB=45时,四边形ACED是正方形.AODEOC,OA=OE.又OC=OD,四边形ACED是平行四边形.B=AEB=45,AB=AE,BAE=90.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.,COE=BAE=90.ACED是菱形.AB=AE,AB=CD,AE=CD.菱形ACED是正方形.(8分),1.(2015黑龙江哈尔滨,24,8分)如图1,ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;(2)如图2,若EFAB,GHBC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).,考点三平行四边形的判定,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,EAO=FCO.(1分)OA=OC,AOE=COF,OAEOCF,OE=OF,(2分)同理,OG=OH.(3分)四边形EGFH是平行四边形.(4分)(2)GBCH,ABFE,EFCD,EGFH.(8分),2.(2014温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP,CO为邻边构造PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO.设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形;(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MNPE,截取FM=2,FN=1,且点M、N分别在第一、四象限.在运动过程中,设PCOD的面积为S.当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.,解析(1)OB=6,C是OB的中点,BC=OB=3,2t=3,即t=,OE=+3=,E.,(2)证明:如图,连接CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中,CG=DG,OG=PG,AO=PE,AG=EG,四边形ADEC为平行四边形.,(3)(i)当点C在BO上时,第一种情况:如图,当点M在CE边上时,MFOC,EMFECO,=,即=,t=1.,第二种情况:如图,当点N在DE边上时,NFPD,EFNEPD,=,即=,t=.,(ii)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:如图,当点M在DE边上时,MFPD,EMFEDP.=,即=,t=.,第二种情况:如图,当点N在CE边上时,NFOC,EFNEOC,=,即=,t=5.S或S20.提示:当1t时,S=t(6-2t)=-2+,t=在1t范围内,S.当t5时,S=t(2t-6)=2-,S20.,关键提示本题主要考查了平行四边形的知识,解题的关键是分几种不同的情况讨论.,1.(2018杭州滨口二模)下列多边形中,内角和是外角和的两倍的是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,考点一多边形,答案C多边形的外角和为360,该多边形的内角和为720,180(n-2)=720,解得n=6.,2.(2018丽水一模)如图,在四边形ABCD中,BAD=120,E、F分别是AD、BC的中点,且EFAD,AB=AD=4,点P是EF上任意一点,连接PA、PB,则PA+PB的最小值为()A.4B.4C.8D.8,答案B如图,连接BD,与EF交于点P,连接AP,过A作AHBD,E是AD的中点,且EFAD,AP=DP,AP+BP=DP+BP=BD,此时PA+PB最小,AB=AD=4,BAD=120,BAH=60,BH=ABsin60=4=2,BD=22=4,AP+BP的最小值为4.,评析求PA+PB的最小值,通过对称,转化线段,从而找到最小值求解.,3.(2017宁波慈溪模拟,5)若一个多边形的每个外角都等于45,则它的内角和等于()A.720B.1040C.1080D.540,答案C多边形的每个外角都等于45,多边形的边数为36045=8,这个多边形的内角和=180(8-2)=1080.故选C.,4.(2017杭州上城一模,7)一个多边形剪去一个角后(剪痕不过任何一个顶点),内角和为1980,则原多边形的边数为()A.11B.12C.13D.11或12,答案B由题意,新多边形比原多边形的边数多1.设新多边形为n边形,则(n-2)180=1980,解得n=13,n-1=12,故选B.,5.(2018杭州下城二模)如图,已知正五边形ABCDE,AFCD交DB的延长线于点F,则F=度.,答案36,解析五边形ABCDE为正五边形,C=108,CD=CB,CDB=CBD=36.AFCD,F=CDB=36.,评析分析题意,根据正五边形的性质可得CD=CB,即CDB为等腰三角形,你有思路了吗?由正五边形的内角和公式求得C的度数,然后根据三角形内角和公式得到CDB的度数,根据平行线的性质可得F=CDB.,6.(2016杭州上城一模,13)如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线lCD,则1的度数为.,答案36,解析正五边形的每个内角是(5-2)1805=108.连接BE,则lCDBE,BED+D=180,BED=72,AEB=36,1=AEB=36.,7.(2018台州一模)奇奇和佳佳在学习完多边形的相关知识后,对多边形的边数和对角线的条数展开了以下讨论:(1)奇奇说存在一个多边形的对角线条数为15,他的说法对吗,为什么?(2)设多边形的边数为x(x4,且x为整数),若多边形的边数增加5,则其对角线条数增加y,求y和x之间满足的函数关系式.,解析(1)奇奇的说法不对.理由:设多边形的边数为n(n3,且n为整数),其对角线的条数为d,则d=,当=15时,整理得n2-3n-30=0,解得n1=,n2=.不存在整数n(n3)使得方程n2-3n-30=0成立,即不存在对角线条数为15的多边形.(2)当多边形的边数为x时,其对角线条数为,若多边形边数增加5,则其对角线条数为,则y=-.化简整理得y=5x+5.,故y和x之间满足的函数关系式为y=5x+5(x4,且x为整数).,评析可根据多边形过同一个顶点的对角线的条数与分成的三角形的个数的关系列方程求解.多边形有n条边,则经过多边形的同一个顶点的所有对角线有(n-3)条,经过多边形同一个顶点的所有对角线把多边形分成(n-2)个三角形.,8.(2018杭州西湖二模)有一组邻边相等,且另外两边也相等的四边形叫做筝形,如图1,四边形ABCD中,AD=DC,AB=BC,那么四边形ABCD叫做筝形.(1)如图1,如果筝形ABCD的周长是18,AD=CD=3,那么AB=;(2)在探索筝形的性质时,发现筝形有一组对角相等,如图1,筝形ABCD中,AD=DC,AB=BC,那么A=C,请证明这个结论;(3)如图2,筝形ABCD中,若AD=DC=,ADC=90,DAB=105,求筝形ABCD的面积.,解析(1)四边形ABCD为筝形,AB=BC,筝形ABCD的周长是18,AD=CD=3,AB=6.(2分)(2)证明:如图,连接AC,AD=DC,DAC=DCA,AB=BC,BAC=BCA,DAB=DAC+BAC,DCB=DCA+BCA,DAB=DCB,(4分)即DAC=DCB.(5分),(3)如图,设AC交BD于点O,ADC=90,AD=CD=,AC=2,四边形ABCD为筝形,DAB=DCB=105.ADC是等腰直角三角形,DAC=DCA=45,BAC=BCA=60,ABC是等边三角形,AD=CD,AB=BC,BD在线段AC的垂直平分线上,BDAC,AO=CO=1,tanBAC=,BO=1tan60=,S筝形ABCD=SADC+SABC=ADCD+ACOB=+2=1+.故筝形ABCD的面积为1+.,评析(1)根据四边形周长为四边之和,可得AB的长.(2)连接AC,根据等边对等角证明.(3)筝形ABCD的面积等于两个三角形面积的和,并说明OB是AC边上的高.,1.(2018绍兴一模)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,2),将点A向右平移3个单位长度得到点B,点A关于原点的对称点为C,若四边形ABCD为平行四边形,则点D的坐标为.,考点二平行四边形,答案(-4,-2),解析点A(1,2)向右平移3个单位长度得点B(4,2),点A关于原点的对称点为C(-1,-2),根据平行四边形的中心对称性知,点D的坐标为(-4,-2),2.(2018滨江二模,16)ABCD中,CD=2,BC=4,BD=2,对角线AC,BD交于点O,将CDO绕点O顺时针旋转,使点D落在AD上的D处,点C落在C处,CO交AD于点P,则OPD的面积是.,答案,解析过点P作PH垂直OD于点H.设PH=x.在CDB中,CD=2,BC=4,BD=2,CD2+DB2=BC2,CDB=90,DBC=30,在ABCD中,ADBC,BDA=DBC=30.又DO=OD,OAD=ODA=30,PD=2x,易得PHOCDO,=,即=,解得x=,SOPD=ODPH=.,3.(2018杭州五区联考二模)在平行四边形ABCD中,E为AB上的一点,连接CE,P为CE的中点,过P作直线MN分别交边AD,BC于点M,N.若EAEB=54,则PMPN=.,答案72,解析如图所示,过P作PHAB,过M作MFAB交BC于F,则MF=AB.P是EC的中点,H是BC的中点,PHBE.设AE=5a,则BE=4a,PH=2a.又PHABMF,=,即=,MPPN=72.,1.(2018宁波一模)已知四边形ABCD中,ABCD,则下列命题正确的是()A.若BC=AD,则四边形ABCD是平行四边形B.若ABC=90,且AC=BD,则四边形ABCD是矩形C.若ACBD,则四边形ABCD是菱形D.若AB=CD且ACBD,则四边形ABCD是正方形,考点三平行四边形的判定,答案BA.若BC=AD,则四边形ABCD可能为等腰梯形;B.正确;C.若ACBD,则四边形ABCD可能为等腰梯形;D.若AB=CD且ACBD,则四边形ABCD为菱形,不一定为正方形.,2.(2017义乌模拟,12)如图,ABCD的对角线BD上有两点E、F,请你添加一个条件,使四边形AECF是平行四边形,你添加的条件是.,答案BE=DF(或AECF或AFEC),解析,可添加条件BE=DF或AECF或AFEC,以下只证明添加BE=DF的情况.证明:连接AC,交BD于点O,如图所示.四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,BE=DF,OB-BE=OD-DF,即OE=OF,OA=OC,四边形AECF是平行四边形.,3.(2017杭州二模,18)已知:线段a,b,(如图),用直尺和圆规作一个平行四边形,使它的两条对角线长分别等于线段a、b的长,且两条对角线所成的一个角等于.,解析按以下步骤作图:(1)画出线段a,b的中垂线;(2)画出一个角等于已知角;(3)在所画角的两边上取线段,使长分别等于0.5a,0.5b;(4)利用对角线互相平分的性质画出平行四边形.,1.(2016杭州萧山二模,5)已知一个正n边形的一个内角是它外角的5倍,则n等于()A.8B.10C.12D.14,B组20162018年模拟提升题组(时间:30分钟分值:40分),一、选择题（共3分）,答案C设这个正n边形的一个外角为x,则其内角为(180-x),此正n边形的一个内角是它的外角的5倍,180-x=5x,解得x=30,n=12.故选C.,2.(2016杭州锦绣中学一模,12)如图,在ABCD中,AD=8,AB=6,DE平分ADC交BC于E,则BE=.,二、填空题（共3分）,答案2,解析DE平分ADC,ADE=CDE,在ABCD中,ADBC,ADE=CED,CDE=CED,CE=CD,在ABCD中,AB=6,AD=8,CD=AB=6,BC=AD=8,BE=BC-CE=8-6=2.,3.(2017金华永康模拟,21)如图所示,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点O作一条直线分别交AB,CD于点E,F.(1)求证:OE=OF;(2)若AB=6,BC=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.,三、解答题（共34分）,解析(1)证明:在ABCD中,AC与BD交于点O,OA=OC,ABCD,OAE=OCF,在OAE和OCF中,OAEOCF(ASA),OE=OF.(2)OAEOCF,CF=AE,BE+CF=AB=6,又EF=2OE=4,四边形BCFE的周长=BE+BC+CF+EF=6+4+5=15.,4.(2016杭州江干一模,18)如图,四边形ABCD为平行四边形,将ABC沿AC折叠,使点B落在B处,AB和CD相交于点O.求证:OD=OB.,证明ABC由ABC沿AC折叠得到,BAC=BAC,AB=AB.在平行四边形ABCD中,ABCD,BAC=DCA,DCA=BAC,OA=OC.又CD=AB,OD=CD-OC=AB-OA=AB-OA=OB.,解题关键证明OA=OC是解题的关键.,5.(2017宁波海曙模拟,20)已知EFMN,直线AC交EF、MN于点A、C,作ACN的平分线交EF于点B,作CAE的平分线交MN于点D.(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;(2)若四边形ABCD为菱形,求ABC的度数.,解析(1)证明:EFMN,ACN=EAC,CB平分ACN,AD平分EAC,ACB=ACN,DAC=EAC,ACB=DAC,ADBC,又DCAB,四边形ABCD是平行四边形.(2)四边形ABCD是菱形,DAC=CAB,EAD=DAC,DAC=EAD=CAB=180=60,ADBC,ABC=DAE=60.,
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