IIR数字滤波器的设计.ppt

第5章无限脉冲响应数字滤波器的设计,5.1数字滤波器的基本概念5.2模拟滤波器的设计5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,5.1数字滤波器的基本概念,1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：,图5.1.1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示：,图5.1.2低通滤波器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：,(5.1.3),(5.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：,(5.1.5),(5.1.6),3.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,5.2模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,图5.2.1各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(5.2.1),(5.2.2),如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为以上技术指标用图5.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因,(5.2.3),(5.2.4),图5.2.2低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(5.2.5),2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,(5.2.6),图5.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,(5.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,(5.2.8),图5.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(5.2.10),(5.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(5.2.12)代入(5.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(5.2.12),将=s代入(5.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(5.2.4)式中，得到：,(5.2.14),(5.2.15),由(5.2.14)和(5.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(5.2.16),用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(5.2.14)式或(5.2.15)式求出，由(5.2.14)式得到：,由(5.2.15)式得到：,(5.2.17),(5.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p,p,s和s，用(5.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(5.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表5.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例5.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。,(2)按照(5.2.12)式，其极点为,按照(5.2.11)式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000,式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。按照(5.2.17)式，得到：,将c代入(5.2.18)式，得到：,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,3.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1)低通到高通的频率变换和之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,(5.2.41),(5.2.40),图5.2.9低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(5.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(5.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得例5.2.3设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,(5.2.42),解高通技术要求：fp=200Hz,p=3dB;/3dbfcfs=100Hz,s=15dB归一化频率,低通技术要求：,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,求模拟高通H(s)：2)低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图5.2.10所示。,图5.2.10带通与低通滤波器的幅度特性,表5.2.2与的对应关系,由与的对应关系，得到：,由表5.2.2知p对应u，代入上式中，有,(5.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,(5.2.43),将(5.2.43)式代入上式，得到：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：,(5.2.44),(5.2.45),上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率s1,上阻带下限频率s2通带中心频率20=lu，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2)确定归一化低通技术要求：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(5.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。,例5.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dBs1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dBB=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6,(2)模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表5.2.1，得,(4)求模拟带通H(s)：,3)低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图5.2.11所示。,图5.2.11低通与带阻滤波器的幅频特性,图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul,表5.2.3与的对应关系,根据与的对应关系，可得到：且ul=1，p=1，(5.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(5.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,(5.2.46),(5.2.47),(5.2.48),下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率20=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。,(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(5.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,例5.2.5设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解(1)模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=u-l=2200;,l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25(2)归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p):,(4)带阻滤波器的H(s)为,5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。,设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t),设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,(5.3.1),式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：,(5.3.2),式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：,(5.3.3),对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：,(5.3.4),设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，,对进行拉氏变换，得到:,式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:,(5.3.5),上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：,(5.3.6),将s=j代入上式，得,由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:,(5.3.7),(5.3.8),(5.3.9),上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设,按照(5.3.6)式，得到:,因此得到:,(5.3.10),那么=0,r=10,r1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成,为任意整数,图5.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系,图5.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象,假设没有频率混叠现象，即满足按照(5.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：令,一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(5.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为,极点为,(5.3.11),可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为,(5.3.12),如果模拟滤波器二阶基本节的形式为,极点为,(5.3.13),(5.3.14),例5.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：,极点为,那么H(z)的极点为,按照(5.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则,转换时，也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(5.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则,再按照(5.3.14)式，H(z)为,图5.3.3例5.3.1的幅度特性,