资源描述
,3.4 空间直线,一、点向式方程,二、参数式方程,三、一般式方程,四、直线与直线的位置关系,五、直线与平面的位置关系,返回,一、点向式方程,直线的点向式方程,二、参数式方程,三、一般式方程,( t 为参数),确定直线l 外一点M0(x0, y0, z0)到l 的距离.,取M1(x1, y1, z1)为直线l 上一确定的点，,M是l 上另一点，且,例1 设直线l 的方程为,如图所示平行四边形,M,M1,解：,= d |s |,-点到直线的距离公式,其面积,例2 求点M0(1,2,1)到直线,的距离.,取 z =0,解,得 x =1, y =-1,M1(1,-1,0) l.,= (0,3,1).,直线,直线,1. 两直线的夹角,四. 直线与直线的位置关系,两直线L1与L2的方向向量 与 的夹角 称为L1与L2的夹角，记为.,直线,直线,2. 两直线的位置关系：,(1),(2),(3),(4),有两种情形：,异面垂直（无交点）,相交垂直（有交点）,例3 判定直线,的位置关系？,解,解法1:,设所求直线的方向向量为:,所求直线方程为,解法2:,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,(直线的参数式方程),取所求直线的方向向量为:,所求直线方程为,，M(2,1,3),即所求直线过两点:,（A）平行于x轴；,（B）与x轴相交；,（C）通过原点；,（D）与x 轴重合；,B,定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,五、直线与平面的位置关系,1、直线与平面的夹角,并规定：,过直线L作与平面垂直的平面，,与的交线L称为直线L在平面,上的投影。,L,L,即,设,L, 直线与平面的夹角公式,2. 直线与平面的位置关系：,(1)平行：,(2)重合：,(3)相交：,解,例5,判 l :,与: x + 4y z 1 = 0,的位置关系. 若相交，则求出交点与夹角.,所以l 与相交.,代入, 得,所以l 与交点,(参数式方程),填空题：,3. 平面束,设直线l 的方程是,可以证明，除方程(2)所表示的平面外，经过直线l 的所有平面都可由下式表示：,经过直线l 的平面全体称为过l 的平面束.,方程(3)称为过直线l 的平面束方程.,(不同的 对应不同的平面),分析：因所求平面过已知直线，故可考虑用平面束!,解：,例7 求直线,在平面,：2x + 2y + z -11=0,上的投影直线.,分析：,过直线l 作一平面 与 垂直，则 与 的交线l就是 l 在 上的投影.,将l 的方程改写为一般式,则过l 的平面束方程为,x + 4y - 24 + (3y + z -17) = 0,即,l,l,（用平面束来求垂面的方程）,解法1：,由 可得,的方程为,故直线l 在 上的投影为,解法2,因作过l 且与 垂直,又 l 上的点M(4, 5, 2)在 上.,取,即,所以l 在 上的投影直线为,(用点法式求垂面的方程）,解法,(用一般式求垂面的方程）,求平面的方程：,法一：点法式。求出平面的一个点，一个法向量。,法三：平面束。所求平面过已知直线时用。,法二：一般式。由待定系数法求出。,法四：截距式。只需求出截距。,求直线L的方程：,法一：点向式。求出直线的一个点，一个方向向量。,法二：一般式。所求直线由两个平面相交而成。,或求出直线上的两个点。,直线的点向式方程, 平面的点法式方程,不要混淆下面两个方程！,思考题：,答案：,思考题：,选择题：,C,过原点作平面的垂线方程为,解：,以x=6t,y=2t,z=-9t代入已知平面的方程,得垂线L与已知平面的交点Q(6.2.-9)，,利用中点公式,便得到原点关于已给平面的对称点：P(12,4,-18),练习：,例如：,几何空间(三唯向量空间）（第三章）,推广,n 唯向量空间（第四章）,推广,线性空间（第七章）,4.1 n 维向量空间,一、三维向量空间,三、Rn 的子空间,返回,二、n 维向量空间,一、三 维向量空间(几何空间),并定义向量的线性运算如下：, + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3),加法:,数乘：,k =(ka1, ka2, ka3 ).,（ai为实数）,设,叫三唯向量,按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：,(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) +0 = ; (4) +(- ) = 0 ;,(5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( +) = k +k ; (8) (k+l) = k +l .,由三维向量,的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条,运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个,三维向量空间(或几何空间)。记为 R3.,确定飞机在空中的状态：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需要6个参数， 可表示为,实际问题：,n 维向量:,n 维行向量,n 维列向量:,实（复）向量:,坐标为实（复）数,n称为向量的维数。, n个数构成的有序数组。,二、n 维向量空间的概念,向量相等的定义： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), = ai = bi,零向量： = (0, 0, , 0),负向量： - = (-a1, -a2, , -an ),n维向量的线性运算: = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)，, + = (a1 +b1, a2 +b2, , an+ bn),k = (ka1, ka2, , kan ), k R.,加法:,数乘：,加法与数乘满足下列八条运算规律：,(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) +0 = ; (4) +(- ) = 0 ;,(8) (k+l) = k +l .,(7) k( +) = k +k ;,(6) k(l ) = (kl) ;,(5) 1 = ;,由n 维向量,的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条,运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个,n维向量空间。记为 Rn.,Rn =(a1, a2, , an)|aiR, n 维实向量的全体(+加法和数乘+八条运算规律),向量与矩阵:,n维行向量可以视为1n的行矩阵；,n维列向量可以视为n1的列矩阵；,向量与矩阵:,用向量的观点看线性方程,可写成：,即,或,方程组的向量形式,即,其中,称为满足方程 的一个解向量。,定义 若,则称V是 Rn 的一个子空间.,（此时称V对加法封闭）,由定义知： （1） Rn 的子空间本身也是一个向量空间！,（2）子空间必含零元。,二、Rn 的子空间,（此时称V对数乘封闭）,(即V有零元是V为子空间的必要条件!),V是 Rn 的一个子空间,（即V对加法封闭）,子空间的判别:,（即V对数乘封闭）,（ 即 过坐标原点的直线是R2的子空间.）,例1 设V = (x1, x2) | x1+x2 = 0 , V是否是 R2 的子空间？,例2 设V = (x1, x2) | x1+ x2 = 1 , V是否是 R2 的子空间？,（ 不过坐标原点的直线不是R2的子空间.）,例3 过坐标原点的平面,但是，不过坐标原点的平面不是R3的一个子空间； 不过坐标原点的空间直线不是R3的一个子空间.,为R3的一个子空间；,例4 过坐标原点的空间直线.,为R3的一个子空间,因为，它们不含零元 0=（0，0，0）.,解,所以交点为,所求直线方程,= （2，0，4）,2、,练习题：,过原点作平面的垂线方程为,解：,代入已知平面的方程有,得垂线L与已知平面的交点Q(6.2.-9)，,利用中点公式,便得到原点关于已给平面的对称点：P(12,4,-18),练习：,思考题：,（A）平行于x轴；,（B）与x轴相交；,（C）通过原点；,（D）与x 轴重合；,B,
展开阅读全文