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第7讲一元二次方程及其应用,考点一一元二次方程及其解法(5年4考),夯基础学易,1.一元二次方程的概念:整理后等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.任何关于x的一元二次方程,经过整理都能化成一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a0).,2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如x2=a(a0)的一元二次方程,其解为x=,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.(2)配方法:一个一元二次方程化成一般形式后,在方程的两边都加上某一常数使方程转化成(xm)2=n的形式,再通过直接开平方法求解,其解为x=m,这种方法称为配方法.(3)公式法:将一元二次方程一般形式中的各系数代入一元二次方程的求根公式即可求解.一元二次方程的求根公式是x1,2=.,(4)因式分解法:当方程的一边为0,另一边可以分解为两个一次因式的积的形式时,可用因式分解法求解,其依据是若ab=0,则a=0或b=0.注意:用配方法解一元二次方程的关键是方程两边同除以二次项的系数,使二次项系数化为1,重点是配方.解一元二次方程的基本思想方法是降次.,3.一元二次方程根的情况(1)一元二次方程根的判别式:=b2-4ac.(2)一元二次方程根的情况:()当b2-4ac0时方程有两个不相等的实数根;()当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根;()当b2-4ac0,x=63.因此,原方程的根为x1=3,x2=9.,1.(2018临沂)一元二次方程y2-y-=0配方后可化为(B)A.=1B.=1C.=D.=,2.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1,类型二一元二次方程根的情况,例2(2018山西,4,3分)下列一元二次方程中,没有实数根的是(C)A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-2,命题亮点山西中考注重基础知识的考查,由对基础知识的考查向对基础技能考查转变;同时山西中考加大了对探究开放题的考查力度.,3.(2018扬州)关于x的方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m且m0.,4.(2018威海)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数值是4.,命题点一一元二次方程的解法(求交点坐标),试真题练易,1.(2015山西,5,3分)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2,这种解法体现的数学思想是(A)A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想,2.已知抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,求A,B,C三点的坐标.,解析由y=0,得x2-x-4=0,解得x1=-3,x2=4.点A,B的坐标分别为(-3,0),(4,0).由x=0,得y=-4,点C的坐标为(0,-4).,命题点二一元二次方程的应用,3.(2014山西,22节选)某项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?,解析设人行通道的宽度是y米,根据题意,得(20-3y)(8-2y)=56,整理,得3y2-32y+52=0,解得y1=2,y2=(不合题意,舍去).答:人行通道的宽度是2米.,易错题解方程:2(x+4)2=(x+4).,探难疑知易,解析将方程右边(x+4)移到方程左边,然后因式分解得(x+4)(2x+7)=0,所以x+4=0或2x+7=0,解得x1=-4,x2=-.,错解2(x+4)=1,解得x=-.,错误鉴定当方程两边同时除以一个含有未知数的代数式时,得到的方程与原方程不是同解方程(根据等式基本性质变形得到的方程是同解方程),所以会产生丢根的现象.,解方程:x2-4=2(x+2).,解析原方程化为(x+2)(x-2)=2(x+2),则(x+2)(x-2)-2(x+2)=0,(x+2)(x-4)=0,x+2=0或x-4=0,所以x1=-2,x2=4.,
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