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第四章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于()A9B9C1D1解析：f(x)3x22ax3，x1x21.答案：C2函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在点x3处取得极值，则a等于()A2B3C4D5解析：f(x)3x22ax3，又f(x)在点x3处取得极值，所以f(3)3(3)26a30，所以a5.答案：D3函数f(x)x3ax1在(，1)上为增函数，在(1,1)上为减函数，则f(1)为()A.B1C.D1解析：f(x)x2a，又f(1)0，a1，f(1)11.答案：C4.如果函数yf(x)的图像如右图，那么导函数yf(x)的图像可能是下图中的()解析：由f(x)的图像可知，函数f(x)从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f(x)的图像从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负，故选A.答案：A5函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1B1，)C(，1，(0,1)D1,0)，(0,1解析：f(x)2x0.又x0，x210，0x1.答案：A6已知函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在(，)上是增函数，则()Am2或m4B4m2C2m4D以上皆不正确解析：f(x)x22(4m1)x(15m22m7)0恒成立，所以4(4m1)24(15m22m7)0恒成立，所以4m224m320，2m4.答案：C7函数yf(x)在定义域内可导，其图像如图所示记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为()A.2,3)B.C.1,2)D.解析：由条件f(x)0知，选择f(x)图像的下降区间即为解答案：A8对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21Ba0或a7Ca0或a21Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，令f(x)0，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点故选A.答案：A9某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台B7千台C8千台D9千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)，令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值又是函数的最大值点答案：A10若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()Aaf(b)bf(a)Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b)Daf(b)bf(a)解析：令F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)，由xf(x)f(x)，得xf(x)f(x)0，即F(x)0，所以F(x)在R上为递增函数因为ab，所以af(a)bf(b)答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11.如图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f(x)的图像，则当x_时，函数f(x)取得极小值解析：由f(x)的图像可知，f(x)在(0,4)内单调递减，在(4，)内单调递增，故当x4时，f(x)取得极小值答案：412已知函数f(x)x3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则ab_.解析：f(x)3x22axb，则1,3是方程3x22axb0的两根，13，13，a6，b9，ab15.答案：1513函数f(x)xln x(x0)的单调递增区间是_解析：f(x)xln x，f(x)ln x1.由f(x)0，即ln x10，x.单调递增区间为.答案：14已知函数f(x)2ln x(a0)若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2即a2x22x2ln x，令g(x)2x22x2ln x，则g(x)2x(12ln x)由g(x)0得xe，0(舍去)，且0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0，xe时g(x)取最大值g(e)e.ae.答案：ae三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)求函数f(x)x3x28x1(6x6)的单调区间、极值解析：f(x)x3x28x1，f(x)x22x8，令f(x)0，得x2或x4.当x(6，2)时，f(x)0；当x(2,4)时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间为6，2，4,6，单调减区间为2,4当x2时，f(x)取得极大值f(2)；当x4时，f(x)取得极小值f(4).16(12分)已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(1,0)上是增函数，求a的取值范围解析：(1)f(x)ax33x2，f(x)3ax26x3x(ax2)，x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，a2.(2)当a0时，f(x)3x2在区间(1,0)上是增函数，a0符合题意；当a0时，f(x)3ax，由f(x)0，得x0，x，当a0时，对任意x(1,0)，f(x)0，a0符合题意当a0时，当x，由f(x)0，得1，2a0符合题意；综上所述，a2.17(12分)甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产要占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔，以弥补经济损失并获得一定净收入在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量a(t)满足函数关系x2 000.若乙方每生产1 t产品必须赔付甲方s(元)(以下称s为赔付价格)：(1)将乙方的年利润(元)表示为年产量a(t)函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002a2，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解析：(1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为2 000sa.因为2 000s()2s()2，所以当a2时，取得最大值所以乙方获得最大年利润的年产量a2(t)(2)设甲方净收入为v(元)，则vsa0.002a2.将a2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v.又v，令v0得s20，当s20时，v0；当s20时，v0，易知s20时，v取得最大值，因此甲方向乙方要求赔付价格s20(元)时，获得最大净收入18(14分)已知f(x)x(mR)，(1)若m2，求函数g(x)f(x)ln x在区间上的最大值；(2)若函数ylogf(x)2在区间1，)上是减函数，求实数m的取值范围解析：(1)当m2时，g(x)xln x(x0)，则g(x)1，由g(x)0，得x2x20，可解得0x0在区间1，)恒成立，而h(x)f(x)10，则mx2在区间1，)上恒成立，得m1.又f(x)20在区间1，)恒成立，得f(1)20，即m3，所以实数m的取值范围是(3,1
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