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课时训练2余弦定理1.(2016课标全国高考乙卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()(导学号51830081)A.B.C.2D.3答案:D解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-4b,即3b2-8b-3=0,又b0,解得:b=3,故选D.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若0,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.是锐角或直角三角形D.一定是钝角三角形答案:D解析:cos C=0,则C,即ABC一定是钝角三角形.3.若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.8-4B.1C.D.答案:C解析:C=60,c2=a2+b2-2abcos 60,即c2=a2+b2-ab.又(a+b)2-c2=4,c2=a2+b2+2ab-4.由知-ab=2ab-4,ab=.4.在ABC中,若sin Asin Bsin C=7813,则角C=.答案:120解析:abc=sin Asin Bsin C=7813,可以令a=7k,b=8k,c=13k,cos C=-,C=120.5.已知ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为.答案:-19解析:由余弦定理,得cos B=.=|cos(-B)=-75=-19.6.在ABC中,cos2,c=5,则ABC的内切圆半径为.(导学号51830082)答案:1解析:cos2,cos A=.由余弦定理得cos A=,整理得a2+b2=c2.ABC为直角三角形,即C=90.c=5,b=4,a=3.用等面积法易求得ABC的内切圆半径为1.7.在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断ABC的形状.解:由余弦定理cos A=,cos B=,cos C=,代入已知条件得a+b-c=0,去分母,得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理,得a4+b4-2a2b2=c4,即(a2-b2)2=c4,a2-b2=c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理逆定理知ABC是直角三角形.8.在ABC中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,求这个三角形三边的长.解:设ABC三边长分别为x-1,x,x+1.则最大角的余弦值为cos =,最大角为钝角,cos =0.即1xC,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b,c是方程x2-2x+m=0的两个实数根,ABC的面积为.(1)求m的值;(2)求ABC的边长.解:(1)SABC=bcsin A=bcsin 60=bc.SABC=,b,c是方程x2-2x+m=0的两根,bc=m,b+c=2.m=,m=2.(2)BC,bc,由得b=+1,c=-1.a=.a=,b=+1,c=-1.10.在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解:由正弦定理,得=2cos A,.又a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得,解得:b=4或b=5.当b=4时,a=4,A=B.又C=2A,且A+B+C=,A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.11.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos A=ccos A+acos C.(1)求角A的大小;(2)若a=,b+c=4,求bc的值.(导学号51830083)解:(1)根据正弦定理,得2bcos A=ccos A+acos C可化为2cos Asin B=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B.sin B0,cos A=.0A180,A=60.(2)由余弦定理,得7=a2=b2+c2-2bccos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,把b+c=4代入上式得bc=3.- 3 -
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