高中数学 第三章 三角恒等变形 3.1 同角三角函数的基本关系学案 北师大版必修

1同角三角函数的基本关系1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .(重点)2会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式(难点)基础初探教材整理同角三角函数的基本关系阅读教材P113P116练习2以上部分，完成下列问题1关系式(1)平方关系：sin2cos2 _1_；(2)商数关系：tan，cot.2文字叙述同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切3变形形式(1)1sin2 cos2 ；(2)sin2 1cos2；cos2 1sin2；(3)sin ；cos ；(4)sin cos tan ；(5)(sin cos )212sincos.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2cos21也成立()(2)对任意角，tan .()(3)利用平方关系求sin 或cos 时，会得到正负两个值()(4)当(kZ)时，tan cot 1.()【解析】(1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，所以错误(2)当时，cos 0，分母为0无意义，所以错误(3)求sin 或cos 时，应结合角的象限，判断是正或是负，因而错(4)正确【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用同角三角函数的基本关系求值(1)若sin ，且是第三象限角，求cos ，tan 的值；(2)已知tan 2，求的值【精彩点拨】第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商数关系求正切；第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式，再求值【自主解答】(1)sin ，是第三象限角，cos ，tan .(2)法一：tan 2，2.法二：tan 2，sin 2cos ，2.同角三角函数的基本关系，揭示了同一角三角函数间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，求解时要注意根据角所在的象限，判断是一解或两解再练一题1已知tan 2，试求：(1)sin 的值；(2)和sin cos 的值【解】因为tan 2，所以2，即sin 2cos .又sin2cos21，所以sin22sin21，所以sin ，又tan 2，所以为第一或第三象限的角，当为第一象限角时，sin .当为第三象限角时，sin .(2)，sin cos .利用sin cos ，sin cos 之间的关系求值已知sin ，cos 是方程x2(1)xm0的两根(1)求m的值；(2)求的值【精彩点拨】本题主要考查韦达定理，同角三角函数的关系，由韦达定理得两根之和与两根之积的关系，通过恒等变形可得m的值【自主解答】(1)sin ，cos 是方程x2(1)xm0的两根，由得12sin cos 42，将代入，得12m42，m.由得m1，m.(2)原式sin cos 1.1已知角的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解2sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos ，利用此关系求sin cos 或sin cos 的值时，要注意判断它们的符号再练一题2已知0，且sin cos ，求sin cos 的值，及tan 的值. 【导学号：66470063】【解】sin cos ，(sin cos )2，解得sin cos .0，且sin cos 0，cos 0.又(sin cos )212sin cos ，sin cos .由得sin ，cos ，tan .探究共研型利用同角三角函数关系化简、证明探究1怎样理解同角三角函数关系中“同角”的含义？【提示】“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是“任意”一个角探究2平方关系对任意R均成立，对吗？商数关系呢？【提示】平方关系中对任意R均成立，而商数关系中k(kZ)探究3证明三角恒等式常用哪些技巧？【提示】切化弦，整体代换，“1”的代换探究4证明三角恒等式应遵循什么样的原则？【提示】由繁到简(1)化简tan ，其中是第二象限角；(2)求证：.【精彩点拨】(1)先确定sin ，cos 的符号，结合平方关系和商数关系化简(2)逆用平方关系结合tan 化简【自主解答】(1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan |1.(2)证明：左边右边所以原式成立1化简三角函数式的一般要求：(1)函数种类最少；(2)项数最少；(3)函数次数最低2证明三角恒等式常用的方法有：(1)从一边开始，证得它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式再练一题3(1)化简：；(2)求证：.【解】(1)原式1.(2)证明：法一：左边右边原等式成立法二：(sin cos 1)(1sin )(sin 1)(1sin )cos (1sin )sin21cos (1sin )cos2cos (1sin )cos (sin cos 1).1已知sin ，是第三象限角，则tan 等于()ABCD【解析】因为是第三象限角，所以cos 0，所以原式cossin.【答案】A3已知sin ，则sin2cos2的值为_. 【导学号：66470064】【解析】因为sin ，所以cos21sin212，sin2cos22.【答案】4已知tan ，则的值是_【解析】.【答案】5已知sin ，cos ，是第四象限角，试求tan 的值【解】sin2cos21，221.化简，整理得，m(m8)0，m10，m28.当m0时，sin ，cos ，不符合是第四象限角，舍去当m8时，sin ，cos ，tan .我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_