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第3章 指数函数、对数函数和幂函数过关检测(满分:100分时间:90分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.函数f(x)=x2-5x-6的零点为().A.2,3B.-2,-3C.-6,1D.6,-1答案:D解析:x2-5x-6=0,(x-6)(x+1)=0.x=6或x=-1.2.计算:=().A.B.-C.D.-答案:D解析:原式=-.3.若函数y=(m2-m-1)是幂函数,且在(0,+)上为减函数,则m=().A.2B.-1C.2或-1D.0答案:A解析:函数y=(m2-m-1)是幂函数,m2-m-1=1,得m=2或m=-1.又当m=2时,m2-2m-3=-3,函数y=x-3在(0,+)上为减函数,符合题意;当m=-1时,m2-2m-3=0,函数y=1不符合题意,故m=2.4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=().(导学号51790222)A.B.C.1D.-1答案:B解析:2x=5-2x,2log2(x-1)=5-2x,即2x-1=-x,log2(x-1)=-x.作出y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图象(如图),y=2x-1与y=log2(x-1)的图象关于y=x-1对称,它们与y=-x的交点A,B的中点为y=-x与y=x-1的交点C,xC=,x1+x2=.5.函数f(x)=的定义域为().A.(-,3)B.(-,3C.(3,+)D.3,+)答案:D解析:由解得x3,定义域为3,+).6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x(0,+)时,f(x)=2x,那么,f=().A.0B.-1C.-2D.-3答案:D解析:函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=2x,可求得当x0时,f(x)=-2-x,而log2bcB.bcaC.cabD.acb答案:D解析:b=log30.70,c0,30.730=1,1=0.700.73,ac,得acb.8.已知二次函数y=f(x)=x2+x+a(a0),若f(m)0,f(m)0,f(m)f(m+1)1,若仅有一个常数c使得对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logax+logay=c,这时,a的取值集合为.答案:2解析:由已知得y=单调递减,所以当xa,2a时,y,所以因为有且只有一个常数c满足题意,所以2+loga2=3,解得a=2,所以a的取值集合为2.10.(2015湖南高考)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.(导学号51790224)答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0a2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a的取值范围为(0,2).11.老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质:此函数为偶函数;定义域为xR|x0;在(0,+)上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误,另两位同学的结论正确.请你写出一个(或几个)这样的函数.答案:y=x2或y=或y=-(答案不唯一)解析:本题为开放型题目,答案不唯一,可结合条件来列举,可从基本初等函数中或分段函数中来找.如:y=x2或y=或y=-.三、解答题(本大题共4小题,共45分)12.(10分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.(1)求f(x);(2)当函数f(x)的定义域是0,1时,求函数f(x)的值域.解(1)f(x)的两个零点分别是-3和2.函数图象过点(-3,0),(2,0),有9a-3(b-8)-a-ab=0,4a+2(b-8)-a-ab=0.-,得b=a+8,代入,得4a+2a-a-a(a+8)=0,即a2+3a=0.函数有两个零点,a0,a=-3,b=a+8=5.f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-3+18,图象的对称轴方程是x=-,函数f(x)在0,1上是单调减函数,f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18,函数f(x)的值域是12,18.13.(10分)根据市场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足关系:f(t)=销售量g(t)与时间t满足关系:g(t)=-t+(0t40,tN),求这种商品的日销售额的最大值.(导学号51790225)解商品的日销售额=f(t)g(t),而f(t)为分段函数,所以需按时间分段求.设日销售额为F(t),当0t161,取t=10或11时,日销售额为176最大.答:这种商品的日销售额的最大值为176.14.(12分)已知0a0,f(logax)=.(导学号51790226)(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)的单调性,并加以说明;(3)判断f(a)与1的大小,并说明理由.解(1)令t=logax,则x=at,f(logax)=f(t)=,f(x)=(ax-a-x),xR.(2)任取x1,x2R,且x2x1,f(x2)-f(x1)=()-()=()-()=.0ax1,0,a2-10,f(x2)f(x1),f(x)是增函数.(3)f(1)=(a-a-1)=1.f(x)是增函数,0a1,f(a)f(1)=1.15.(13分)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)(导学号51790227)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?解(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,k1=.又g(4)=,k2=.从而f(x)=x(x0),g(x)=(x0).(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元.设企业利润为y万元,则y=f(x)+g(10-x)=,0x10.令=t,则y=t=-(0t).当t=时,ymax=4,此时x=10-=3.75.投资A产品3.75万元,B产品6.25万元时企业利润最大,约为4万元.
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