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第四章三角形1.理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线.2.了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.3.会证明三角形内角和等于180,了解三角形外角的性质.4.了解图形的全等,理解全等三角形的概念和性质,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.5.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力.1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.3.使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.三角形是最简单、最基本的几何图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.学生在前面学习“相交线和平行线”的过程中,积累了一些初步的数学活动经验,空间观念、几何直观与推理能力得到了初步的培养,这都为三角形的学习提供了有力的条件.本章的设计在总体上来看需要学生掌握以下内容:在生动的问题情境、丰富的数学活动中,理解三角形的有关概念;在动手动脑的数学活动中,探索三角形全等的条件,感悟数学的分类思想;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单说理相结合,逐步而又恰当地提高学生数学推理能力,借助三角形和全等三角形的有关结论解决一些简单的实际问题.为此,教材本章安排了5节内容:第1节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质.第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角形的概念和性质,接着通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件.第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形全等测距离”,教材以用尺规作三角形和利用三角形全等测距离,体现全等三角形的应用.教材中关于推理过程的描述,采用符合自然语言习惯的文字加符号的方式,一方面是降低学习难度,另一方面也为八上学习证明(演绎推理的形式化表述)做铺垫.通过本章的学习,学生推理意识的树立以及推理经验的积累,为今后学习证明打下基础,在今后的学习中,学生将在直观认识和简单说明理由的基础上,学习从几个基本事实出发,进行比较严格的证明.【重点】掌握三角形最基本的性质,探索并掌握两个三角形全等的条件,会利用三角形全等测距离.【难点】探索三角形全等的条件和运用三角形全等解决问题以及它的说理过程.1.本章对三角形认识的教学目标与第一学段获得对简单平面图形的直观经验有所不同,应使学生通过观察、操作、推理等手段认识三角形.在如落实“三角形任意两边的和大于第三边”“三角形内角和是180”等具体目标时,不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果进行判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力.2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识.教学时,应给予学生充分的时间和空间,通过观察、操作、有条理的思考、推理和交流,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,获得对图形的认识,发展空间观念.3.促进教学中的数学交流.教师要重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、用口、用眼、用手去表达自己的思想和接受他人的思想.这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不同的方式探索、思考解释问题,不断提高自己的思维水平.4.注重教具、学具和现代教学手段的运用,加强教学的直观性.几何图形的直观性为各种教学手段的运用提供了广阔的空间,利用各种教具、学具和现代教学技术,可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味性和挑战性,也是进一步发展学生空间观念和实践能力的有效途径.但在运用各种教学手段时,要注意切合实际,易操作而有实效.一些农村学校由于经济困难,不能配备丰富多彩的教学用具,教师必须因地制宜充分挖掘当地资源,积极发动学生制作.学生在制作过程中不但可以激发学习的兴趣而且可以加深对图形的认识.5.对全等三角形概念分析的建议.通过图片的展示,使学生认识到全等形在生活中是广泛存在的,并鼓励学生自己归纳它们的共同特征,引出全等形和全等三角形的概念.教学时应鼓励学生通过观察,用自己的语言概括出全等三角形对应元素的确定方法,教师同时运用多媒体技术演示对应元素的确定方法,引导学生总结在这个过程中需注意的问题和其中的规律.6.对全等三角形性质的教学建议.通过学生对全等三角形的观察,合作交流,从而得出找全等三角形的对应边、对应角的性质,性质的熟练应用应该在能准确地判断全等三角形的对应元素的基础上.在教学过程中,适当引导学生总结通过全等三角形的性质证明线段相等和角相等的常用方法.7.探索三角形全等的条件是本章的重点内容,教学时应先用设问形式创设问题情境,设计一系列实践活动,遵循启发式教学原则,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础.1认识三角形4课时2图形的全等1课时3探索三角形全等的条件3课时4用尺规作三角形1课时5利用三角形全等测距离1课时回顾与思考1课时1认识三角形1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.2.认识等腰三角形,会按边对三角形分类,掌握三角形三边的关系.3.正确理解三角形的角平分线、中线、高线的概念.4.画出任意三角形的高.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展他们的空间观念.【重点】1.三角形三边关系的探究和归纳.2.了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.3.三角形高线的概念,会画任意三角形的高.【难点】1.三角形的中线,角平分线的定义及其性质的应用.2.画钝角三角形、夹钝角的两边上的高和掌握三角形高的应用.第课时1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.2.经历实验活动的过程,得出“三角形内角和等于180”,能应用三角形内角和来解决一些简单的求三角形内角和问题.3.会按角的大小关系对三角形分类;能从所给出的已知角中,判断出三角形的形状.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理和有条理地表达能力.让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.【重点】探究发现和验证“三角形的内角和是180”这一规律的过程,并归纳总结出规律.【难点】发展推理能力和有条理地表达能力.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P8183.导入一:过渡语同学们喜欢看美丽的图画吗?下面请同学们欣赏几幅优美的画面,找一找这几幅图中有什么共同点.多媒体展示:处理方式三角形是最简单的多边形,是一种在我们生活中应用很广泛的图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见,那么今天我们就来认识它.设计意图通过欣赏三角形有关的图片,创设一种宽松、和谐的学习氛围,让学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.使学生能从生活中抽象出几何图形,感受到我们生活在几何图形的世界之中.培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,学生能很好地找出生活中的三角形的实例,如植物的三角形刺,还有图片中的房屋结构、热带鱼的形状、战机的外形等,这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情,在课堂上用源于学生身边的事物抽象出的三角形视频和图片展开教学,从而更大地激发学生学习数学的兴趣.导入二:【活动内容】(多媒体出示)猜谜语:“形状似如山,稳定性能坚.三竿首位连,学问不简单.”(打一图形名称)欣赏图片认识生活中的三角形.处理方式教师播放幻灯片,学生猜出谜底后欣赏图片,认识生活中的三角形,从而引出新课.引导性语言:三角形是最简单的多边形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他多边形的基础,在解决实际问题中也有广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.设计意图利用学生感兴趣的猜谜语和熟悉的生活图片入手,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为新课的学习做好铺垫.过渡语三角形是一种最常见的几何图形之一.同学们,还记得三角形有哪些要素吗?下面让我们一起探个究竟.探究活动1认识三角形及其基本要素思路一观察下面屋顶的结构:出示问题:(1)你能从左图中找出4个不同的三角形吗?与你的同伴交流各自找到的三角形.(2)这些三角形有什么共同的特点?处理方式学生自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点).不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形可以用符号“”表示,顶点是A,B,C的三角形,记作ABC.有时ABC的三边也用a,b,c表示.顶点A所对的边BC用a表示,边AC,边AB分别用b,c表示.通过自学知道三角形ABC有三个角,分别为A,B,C.三条边分别为AB,BC,AC.三个顶点分别是A,B,C.设计意图通过学生的自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)等基础知识,体会用符号表示三角形的必要性,培养了学生自学、观察、分析能力及归纳总结的能力.【即时训练】根据右图填空:(1)图中共有个三角形,它们是;(2)以AD为边的三角形有;(3)在ABD,ABE,ABC中B的对边分别是.设计意图通过知识反馈进一步认识了三角形及其基本要素,巩固了三角形的表示法.思路二过渡语请同学们打开课本81页,独立思考,完成以下问题,并与同伴交流.(1)三角形的概念:由不在的三条线段相接所组成的图形叫做.(2)理解三角形的构成要素及符号表示:三角形有条边,个内角和个顶点.“三角形”可以用符号表示,如图中顶点是A,B,C的三角形,记作.ABC的三边为,有时也用来表示.处理方式学生自主学习,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调三角形的概念要任意三条线段:(1)不在同一直线上;(2)首尾顺次相接.设计意图本活动的设计意在引导学生通过自主学习、合作交流,对三角形的概念从感性认识上升到理性认识.【即时训练】图中有个三角形,它们分别是.探究活动2三角形的内角和思路一过渡语请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说的有道理.三角形蓝和三角形红见面了.蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”同学们,它们谁说的有道理?在小学的时候我们用量角器量三角形的各角度数和用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和是180”的结论.现在,我们只撕下三角形的一个角,同样可以得到一样的结论,看看小明的做法,你能说出其中的道理吗?(1)剪一个三角形纸片,如图(1),它的三个内角分别为1,2,3.(2)将1撕下,按图(2)所示进行摆放,其中1的顶点与2的顶点重合,它的一条边与2的一条边重合,此时1的另一条边b与3的边a平行吗?为什么?(3)如图(3)所示,将3与2的公共边延长,它与b所夹的角为4,3与4有什么大小关系?为什么?现在你能够确定三角形的内角和了吗?处理方式在图(2)中,根据内错角相等两直线平行可知1的另一条边b与3的边a平行,根据两直线平行,同旁内角互补可知2+1+3=180,所以可以得到三角形的内角和等于180.在图(3)中,根据内错角相等两直线平行可知1的另一条边b与3的边a平行,根据两直线平行同位角相等可知3=4,因为2,1,4组成一个平角,所以2+1+4=180,由于三角形的三个角分别与2,1,4相等,所以可以得到三角形的内角和等于180.结论:三角形三个内角的和等于180.教师引导过A点作EFBC,根据两直线平行内错角相等知1=B,2=C.又因为1+2+3=180,所以BAC+B+C=180.设计意图通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.思路二以4人合作小组为单位,充分利用课前准备的任意三角形纸片,探索验证三角形内角和为180的方法.然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由.处理方式1.可让学生合作探究,教师到各小组巡回指导,参与他们的讨论.2.鼓励学生提出疑问,但是并不急于评判他们的答案,而是有针对性的启发和指导,引导学生在操作中自觉思考.3.让学生们主动思考能否利用平行线的有关事实说明理由.4.让学生展示不同的验证方法.设计意图充分利用学生已有的知识和经验,并通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.探究活动3三角形分类过渡语下面我们共同做一个猜角的游戏,观察图(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?男孩呢?试着说说理由.(学生带着浓厚的兴趣来完成游戏,完成后让学生先在小组内讨论交流)图(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?将所得的结果与图(1)的结果进行比较.处理方式根据上面的问题我们把三角形按角的大小分为三类:(1)锐角三角形;(2)直角三角形;(3)钝角三角形.自学并讨论怎样判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形,直角三角形有什么特殊的表示法?它的两个锐角之间有什么关系?它的三条边的名称是什么?经过自学和讨论知道了三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.如图所示.通常我们用符号“RtABC”表示直角三角形ABC.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.根据三角形的内角和等于180,可知A+B+C=180,又因为C=90,所以A+B=90,由此可知直角三角形的两个锐角互余.设计意图通过在游戏中对问题的解决,使学生有成就感,树立了学好数学的信心.特殊三角形的特殊性质与其形状有关直角三角形两个锐角互余.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想.当只露出一个内角为锐角时,引导学生发现三种情况都是可以的,即两个锐角,一个锐角一个直角,一个钝角一个锐角,从而使学生初步体会反证法的思想,为后面进一步研究反证法奠定基础.知识拓展在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角三角形都有锐角.直角三角形两个锐角互余.1.三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形三个内角的和等于180.3.三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.4.直角三角形的两个锐角互余.1.如图所示,三角形的个数是()A.3B.4C.2D.6解析:共有6个,分别为ABD,ABE,ABC,ADE,ADC,AEC.故选D.2.如图所示,以C为内角的三角形有和,在这两个三角形中,C的对边分别为和.答案:ACDACBADAB3.直角三角形的一个锐角为70,另一个锐角为.解析:根据直角三角形两锐角互余得到另一锐角为20.故填20.4.在ABC中,A=80,B=20,则ABC是三角形.答案:锐角等腰第1课时探究活动1认识三角形及其基本要素探究活动2三角形的内角和探究活动3三角形分类一、教材作业【必做题】教材第84页习题4.1知识技能第1,2,3题.【选做题】教材第84页习题4.1问题解决第5题.二、课后作业【基础巩固】1.三角形三个内角中,锐角最多可以是()A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图所示,ABC中,A=60,C=80,B=.3.如图所示,ADBC,1=40,2=30,则B=,C=.4.在空白处填入“锐角”“直角”或“钝角”.(1)如果三角形的三个内角都相等,那么这个三角形是三角形;(2)如果三角形的两个内角都小于40,那么这个三角形是三角形.【能力提升】5.(2015菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示方式放置,若AOD=20,则BOC的大小为()A.140B.160C.170D.1506.如图所示,已知ABC中,1=27,2=85,3=38,求4的度数.【拓展探究】7.一个零件的形状如图所示,按规定A等于90,B和C分别等于32和21.检验工人只量得BDC=148,就断定这个零件不合格,请你说明零件不合格的理由.【答案与解析】1.D(解析:根据三角形内角和为180度可知在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角,而锐角三角形的三个内角都是锐角.故选D.)2.40(解析:根据三角形内角和为180度可知B=180- 60- 80=40.)3.5060(解析:因为ADBC,所以ABD和ACD分别为直角三角形,所以B=90- 40=50,C=90- 30=60.)4.(1)锐角(2)钝角5.B(解析:因为将一副直角三角尺按如图所示方式放置,AOD=20,所以COA=90- 20=70,所以BOC=90+70=160.故选B.)6.解:由三角形内角和公式可求出ACB=180- 1- 3=115,由BCD为ACB的补角,得BCD=180- ACB=65,CFD与2是对顶角,所以CFD=2=85,再根据三角形内角和公式得4=180- BCD- CFD=30.7.解:延长CD交AB于E,则DEB=180- DEA=A+C=111,BDC=180- BDE=DEB+B=143,即合格零件的BDC应为143,而此零件这个角为148,因此可以判定这个零件不合格.1.注意把握说理要求的度,只要求口头说明,不要求书面证明,鼓励他们用自己的语言进行讲述.2.在教学过程中学生在教师创设的情境下,自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者,学生自始至终地参与这一探索过程,发展了学生的创新精神和实践能力.通过有条理地表达三角形内角和为180的推理过程,为今后的几何证明打下基础.处理探究“三角形三个内角的和等于180”时操作说理有点仓促,不应怕学生说错,要注意课堂的生成.自主学习时间过短,应注意自主的实效性.应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.随堂练习(教材第83页)1.解:如图所示.2.解:(1)直角三角形.(2)锐角三角形也是等腰三角形.(3)钝角三角形.习题4.1(教材第84页)知识技能1.提示:A=90,B=60,C=30.2.(1)锐角(2)直角(3)钝角3.提示:60.4.解:(1)有3个直角三角形.分别是RtABC,RtACD,RtBCD.RtABC的直角边为AC,BC,斜边为AB;RtACD的直角边为AD,CD,斜边为AC;RtBCD的直角边为CD,BD,斜边为BC.(2)1和A互余;2和A相等.问题解决5.提示:ACB=40.当轮船距离灯塔C最近时,ACB=60.在小学数学学习的基础上,本课从探索三角形的概念入手,具体介绍三角形的有关概念,通过熟悉的情境,找出熟悉的图形并进行交流,感悟需要用符号来表示三角形,体会用符号来表示三角形的必要性.通过学习小组的交流活动,引导学生探究出按角将三角形分类,渗透分类的思想.通过让学生拼图、说理等活动让学生探究出三角形的内角和为180,进一步通过简单的推理得出“直角三角形的两个锐角互余”,使学生感觉知识的形成很自然,激发学生学好数学的勇气;学生在教师的引导下,先自主学习,再合作交流,在感悟中逐步提高对三角形的认识.第课时1.让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类;掌握三角形三边的关系.2.能运用三边关系解决生活中的实际问题.结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.通过观察、操作、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,推理能力和有条理的表达能力.学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.【重点】三角形三边关系的探究和归纳.【难点】应用三角形的三边关系解决简单的实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P8586.导入一:过渡语上节课我们对三角形有了初步认识,按三角形内角的大小把三角形进行分类,仔细想一想,完成下面的问题.1.下图中有几个三角形?将找到的三角形表示出来.2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内.处理方式第一题让三名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,防止遗漏或重复.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.三角形除了按角进行分类之外,还可以怎么分?试一试.设计意图学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,及时检查学生对上节课内容的掌握情况,又通过复习引起学生回忆,为本节学习提供铺垫和思想基础.导入二:过渡语上节课,我们学习了三角形的定义,哪位同学来说一下三角形的定义是什么?处理方式学生思考,并说出三角形的定义.师出示三道题目.1.在右图中你能用符号表示三角形吗?2.右图中的三角形的三个顶点分别是,三条边分别是,三个内角分别是.3.观察下面的三角形,这些三角形能不能按边长分类呢?设计意图本活动在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法,做到不重复、不遗漏.过渡语三角形除了可以按角分类之外,按边长分有什么分法吗?如何分?想一想、试一试.探究活动1认识等腰三角形和等边三角形思路一如图所示.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得ABC.探索:问题1AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?(学生讨论)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.当三角形的三条边都相等时,它是什么三角形?(等边三角形)问题2从定义上你能看出等腰三角形与等边三角形的关系吗?如果把三角形按边分类应该怎样来划分?三角形按边分类:三角形处理方式问题1学生先动手实验,然后对所得到的图形进行讨论,教师则通过课件展示出等腰三角形和等边三角形定义及有关概念,学生记忆.同时引出本节课课题“认识三角形2”.问题2先让小组讨论,教师补充,最后由教师课件展出三角形按边分类.设计意图通过对等腰三角形的认识,引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类,进一步体现数学分类的思想.思路二过渡语观察图中的五个三角形并测量,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗?处理方式教师安排分组测量,并将学生给出的测量结果出示在课件上.(1)(4)(5)的三边都不相等.(2)有两边相等的是等腰三角形.(3)三边都相等的是等边三角形.板书等腰三角形、等边三角形的定义.等边三角形也叫正三角形.等腰三角形的边与角都有特定的名称,相等的两边叫腰,不等的边叫底.腰和底的夹角叫底角,两腰的夹角叫顶角.三角形按边共分两大类.等腰三角形与普通三角形;等腰三角形里分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.处理方式课件展示.三角形设计意图通过设置这些动手测量,共同探讨的活动,既满足了学生的探究欲望,也让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识,体验到了成功.将三角形按边分类,在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法.探究活动2三角形三边之间的关系思路一【情境探究】(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的理由.处理方式可让学生在小组中讨论交流,引导学生进行观察、测量,然后选代表进行回答.(2)利用你得到的结论填空:AB+ACBC.AB+BCAC.AC+BCAB.(3)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么?处理方式让学生在小组中讨论交流,教师可引导学生各自画一个三角形,然后进行测量,从而得出结论:三角形任意两边之和大于第三边.说明:学生在考察两边之和与第三边的数量关系时,可能对具体的三角形采用测量方法,教师应予以肯定,但是又不要停留在几何直观和操作测量阶段,此时可以提出问题,将学生对问题的思考引向深入.教师可以这样的提出问题:你的结论是通过测量几个三角形得出的?对任意一个三角形,你能肯定它的任意两边之和都大于第三边吗?能说明你的理由吗?从而将学生对问题的思考从特殊推广到一般,从直观提升到推理.在探究过程中,可设置必要的过渡,引导学生回忆所学过的“两点之间线段最短”的结论,并鼓励他们利用这个结论说明自己的发现.对三角形三边之间的数量关系,教师要引导学生注意结论中“任意”二字的含义.设计意图通过设计“比较彩灯电线长度”的情境,目的是引出三角形三边之间数量关系的问题.思路二【测量探究】分别量出下面三个三角形的三边长度,并填入空格内.(1)a=,b=,c=.(2)a=,b=,c=.(3)a=,b=,c=.根据你的测量结果,计算三角形的任意两边之差,并与第三边比较,完成填空:(1)a- bc,c- ba,c- ab.(2)b- ac,c- ab,b- ca.(3)a- cb,a- bc,b- ca.你能得到什么结论?再画一些三角形试一试.处理方式学生在小组中进行测量,计算,并讨论交流,得出结论:三角形任意两边之差小于第三边.教师可参与到学生的讨论中,适当给学生引导.说明:对于三角形任意两边之差与第三边的数量关系,学生只要能通过测量、比较等操作活动,归纳得出结论即可,不必运用不等式的性质进行说明.但教师可以在引导学生对结论进行验证的基础上,指出这个结论对一般三角形也是成立的.设计意图在测量过程中培养学生合作交流意识,在交流中认识三角形三边差的关系.思路三【实验探究】(多媒体展示)准备好长度分别为:4 cm,6 cm,10 cm,12 cm的小棒各一根.实验要求:1.任意选三根小棒首尾相连,看能否围成三角形.2.把任意两边的长度加起来,再与第三边进行比较.(用式子表示)3.小组讨论,你发现了什么?4.将实验结果填写在探究报告单上. 处理方式学生以小组为单位进行动手操作,并通过讨论交流进一步验证三角形三边之间的数量关系,然后选代表进行解答.设计意图通过实验探究让学生在实验、操作中进一步验证所得到的结论,丰富学生对三角形三边之间的数量关系的体验和理解,并使学生在自主活动和相互交流中获得知识,体验乐趣.知识拓展1.等腰三角形的两个底角相等,等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60.2.三角形两边之和大于第三条边可以根据“连接两点的所有线中,线段最短”得出.这里的“两边”泛指三角形的任意两边.例题讲解有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒,用长度为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长度为13 cm的木棒呢?解析可让学生独立完成,选两个代表在黑板板书,并让他们进行讲解.解:取长度为2 cm的木棒时,由于2+5=7,小于8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.取长度为13 cm的木棒时,由于8+5=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.三角形按边分为:三角形3.三角形任意两边之和大于第三边.4.三角形任意两边之差小于第三边.1.下列长度的三条线段,不能构成三角形的是()A.3 cm,8 cm,4 cmB.4 cm,9 cm,6 cmC.15 cm,20 cm,8 cmD.9 cm,15 cm,8 cm解析:由三角形的三条边的关系可知,3+4=7,小于8,不符合题意,故选项A不能构成三角形.故选A.2.现有四根木棒,长度分别为4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:共有4种方案:取4 cm,6 cm,8 cm,能构成三角形;取4 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形;取4 cm,6 cm,10 cm,不能构成三角形,此种情况不成立;取6 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形.所以有3种方案符合要求.故选C.3.若等腰三角形一边长为7 cm,另一边长为5 cm,则第三边长为.解析:若腰长为7 cm,另一边长为5 cm,7+5=12,大于7,则第三边长为7 cm;若腰长为5 cm,另一边长为7 cm,5+5=10,大于7,则第三边长为5 cm.故填7 cm或5 cm.4.下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?(1)7 cm,5 cm,11 cm;(2)5 cm,8 cm,4 cm;(3)4 cm,3 cm,7 cm.解析:只要满足两条较短线段之和大于最长边就能构成三角形.解:(1)因为7+5=12,12大于11,所以能摆成三角形.(2)因为5+4=9,9大于8,所以能摆成三角形.(3)因为4+3=7,7=7,所以不能摆成三角形.第2课时探究活动1认识等腰三角形和等边三角形探究活动2三角形三边之间的关系例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第86页习题4.2知识技能第1题;问题解决第2题.【选做题】教材第86页习题4.2问题解决第3题.二、课后作业【基础巩固】1.等腰三角形两边长为9和5,则这个三角形的周长是.2.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数,满足这些条件的三角形共有种,当c=时,所作出的三角形的周长最长.3.一个三角形的两边长分别为4和8,则第三边长x的取值如何?【能力提升】4.若ABC的三边为a,b,c,化简|a+b+c|+|a- b- c|.【拓展探究】5.如图所示,已知A,B两个村在河的同侧,要在河边建一个水站向两个村供水,为了使水站到两村距离之和最小,则水站应该建在哪里?【答案与解析】1.19或23(解析:根据等腰三角形的性质,分两种情况:当腰长为5时,当腰长为9时,解答出即可.根据题意,当腰长为5时,周长=5+5+9=19;当腰长为9时,周长=9+9+5=23.)2.59(解析:根据三边关系可得7- 3c4- 2且c4+2,即2c6.又因为c是偶数,所以c=4.习题4.2(教材第86页)知识技能1.提示:(1)能.(2)不能.(3)能.(4)不能.问题解决2.提示:9 cm.3.解:因为两边之差 第三边两边之和,所以9- 3第三边9+3,即6第三边12. 又因为第三边长度为奇数,所以第三边的长度可能是7 cm,9 cm,11 cm.一个等腰三角形的两条边长分别是10 cm和5 cm,求这个三角形的周长.解析在给出的条件中,没有确定等腰三角形的腰和底,所以10 cm长的边既可能是底,也可能是腰,于是本题有两解.解:(1)当腰长10 cm时,则底长5 cm,等腰三角形的周长是25 cm.(2)当底长10 cm时,则腰长5 cm,然而两腰之和等于底边(5+5=10),所以此三角形不存在.答:这个三角形的周长是25 cm.解题策略让学生自己先做,老师再用屏幕投影出示解题步骤,让学生对照答案自己订正,老师应对易错点加以强调,以加深学生的印象,达到巩固的目的.第课时1.正确理解三角形的角平分线、中线的概念.2.能正确画出三角形的角平分线及中线,经历三角形的角平分线、中线性质探究的过程,知道三角形的角平分线、中线的性质.3.通过对三角形有关概念的学习,提高学生对概念的辨析能力和画图能力.通过学生观察、想象、动手做、交流等活动,培养学生探索发现能力、观察能力、动手操作能力和有条理的表达能力.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,产生对数学的好奇心,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”,通过问题的发现与解决,使学生有成就感,加强学生学好数学的信心.【重点】了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.【难点】三角形的中线、角平分线的定义及其性质的应用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P8788.导入:过渡语我们在看文艺节目的时候,总会有一些杂技节目,我们在感叹节目精彩的同时,也被杂技演员高超的技艺,尤其是他们超强的平衡能力所折服震撼.同学们现在看老师利用一支铅笔就可以支起一个三角形(演示),你能做到吗?这就是本节课我们将要探究的问题.处理方式教师通过展示多媒体课件,从视觉上提高学生的兴奋点,激发学生兴趣.而后面的自己动手演示顶三角形的纸片,更是将学生的好奇心再一次激起,为后面的探究新知做了很好的铺垫,学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.设计意图一堂新课的引入是老师与学生课堂交往活动的开始,是学生学习新知识的心理铺垫,是拉近师生之间的距离,破除疑难心理、乏味心理的关键.一个成功的引入,是让学生感觉到他熟知的生活,可使学生迅速投入到课堂中来,对知识在最短的时间内产生极大的兴趣和求知欲,接下来教学活动将成为他们一种开心快乐的游戏.过渡语同学们,你们想知道老师是如何做到的吗?下面就一起来学习三角形的其他有关的概念.探究活动1三角形的中线概念思路一【活动内容】复习线段的中点定义和确定线段中点的方法,阅读课本完成自学,得出三角形中线的定义和三角形中线的作法.(多媒体出示)请阅读课本P87内容,思考解决下列问题:问题1什么是三角形的中线?它与线段的中点有什么区别与联系?问题2如何得到三角形的中线?问题3三角形的三条中线有怎样的位置关系?处理方式学生阅读课本,思考教师在课件中提出的三个问题,遇到困难的同学可做好标记以备作为问题进行合作交流.学生以口答的形式回答教师提出的问题.小组展示自学成果:(1)定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形中线是条线段(如图线段AD);线段的中点是一个点.(2)几何表达:因为AD是三角形ABC的中线,所以BD=DC=BC或BC=2BD=2DC.(3)学生代表说出并演示如何画三角形的中线,对利用折纸得出三角形中线的同学可以引导进行展示.设计意图借助线段中点的定义,让学生类比自学得到中线的定义,比较容易接受,对于三角形的中线可以通过折纸得到这种方法没有进行特别指出与要求,只是有学生提出就展示一下而已.思路二过渡语你还记得什么是线段的中点吗?那么你知道什么是三角形的中线吗?处理方式三角形的中线的概念比较抽象,此处采取直接给出定义,引导几何语言的表达方法,明确三角形的中线是线段,分析线段的两个端点.进一步拓展使学生知道三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.几何表达:因为AE是ABC的中线,所以BE=EC=BC.设计意图通过回顾中点的定义,让学生类比得到中线的定义,要比直接给出中线的定义学生更容易接受,同时进一步培养学生类比的思想.探究活动2三角形的中线的性质及重心议一议:(1)在纸上任画一个锐角三角形,并画出它的三条中线,它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流.(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗?折一折,画一画,并与同伴进行交流.老师用铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的.练一练:如图所示,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的中点.(1)AB边上的中线是,BC边上的中线是,AC边上的中线是.(2)因为BE是中线,所以=.因为CF是中线,所以AB=2=2.答案(1)CFADBE(2)AEECACAFBF处理方式以线段的中点知识类比出三角形的中线知识,在复习旧知识的过程中引出新知识,体现数学知识之间的相互联系,把课堂大量的时间和空间留给学生,让他们开展有针对性的数学探究活动,在活动中,鼓励学生积极开动脑筋,从不同的途径探索解决问题的方法.结论:三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)设计意图通过这样的方式学数学,可以有助于学生建立自己的知识体系,将新知识更好地融入到已有的知识体系中,形成网络;学生的动手过程不但得出三角形中线的性质,而且学生也发现了书上没有直接给出的性质,如中线分成的两个三角形的周长关系、面积关系以及三角形三条中线交点与三角形的位置关系等,实现了学生自己学数学的目的,同时让学生体会实际操作可以把抽象的数学直观化具体化.探究活动3三角形角平分线及性质【问题】请同学们仿照三角形的中线的定义给三角形的角平分线下定义.处理方式三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以完全通过类比获得,让学生自己在课堂上实现类比学习,进一步体现了自主学习的目的.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达:因为AD是ABC的角平分线,所以1=2=BAC.(或BAC=21=22)做一做:每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系?将你的结果与同伴进行交流.处理方式画出三角形的角平分线的时候多数同学是用量角器量取的,几乎没有学生用折纸的方法得到,因而单独提出第二个问题,引导学生思考用折纸的方法得到三角形的角平分线,并让学生演示折纸如何得到三角形的角平分线.【学生活动】(1)通过作图发现猜想是正确的,三角形的三条角平分线交于一点,如图所示.(2)通过折纸的方法来验证:三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点在三角形的内部.(多媒体展示)多媒体展示:把三角形一个内角的两边重合得到的.总结:你们表现得真棒!通过以上验证我们可以得出结论:三角形的三条角平分线交于一点.(教师板书并强调:交点在三角形内部)设计意图三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以让学生通过类比获得,进一步体现了自主学习的目的.采用合作探究学习的方式,让学生经历“猜想- 验证- 得出结论”的过程.这样的主动学习过程,既可以体现数学学习的特殊过程,又可以调动学生学习的热情,相互交流,充分表达自己的想法,相互取长补短.知识拓展角的平分线是射线,而三角形的角平分线,无论是其中哪个内角的平分线都是线段.三角形的中线,角平分线都交于一点,其中三角形的中线交于一点,这点叫做三角形的重心.1.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.2.三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)3.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.4.三角形的三条角平分线交于一点.(交点在三角形内部)1.如图所示,D,E分别为ABC的边AC,BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.DE是BDC的中线B.图中C的对边是DEC.BD是ABC的中线D.AD=DC,BE=EC解析:因为E为ABC的边BC的中点,所以点E也是BDC的边BC的中点,所以DE是BDC的中线,故A正确;图中C的对边有三种可能,是DE,BD,AB,故B错误;因为D为ABC的边AC的中点,所以BD是ABC的中线,故C正确;因为D,E分别为ABC的边AC,BC的中点,所以AD=DC,BE=EC,故D正确.故选B.2.如图所示,BD平分ABC,DEBC,且D=30,则AED的度数为()A.50B.60C.70D.80解析:因为DEBC,D=30,所以DBC=30,因为BD平分ABC,所以ABD=DBC=30,所以ABC=60,又因为DEBC,所以AED=ABC=60.故选B.3.如图所示,在ABC中,BAC=68,B=36,AD是ABC的一条角平分线,求ADB的度数.解:因为AD是BAC的平分线,BAC=68,所以BAD=DAC=34,又因为B=36,所以ADB=180- 34- 36=110.4.如图所示,AD是ABC的中线,AE是ACD的中线,已知DE=2 cm,求BD,BE,BC的长.解:因为AD是ABC的中线,AE是ACD的中线,所以BD=CD=2DE=4 cm,所以BE=BD+DE=6 cm,所以BC=2BD=8 cm.第3课时探究活动1三角形的中线概念探究活动2三角形的中线的性质及重心探究活动3三角形角平分线及性质一、教材作业【必做题】教材第88页习题4.3知识技能第1,2题.【选做题】教材第89页习题4.3问题解决第3题.二、课后作业【基础巩固】1.三角形的三条中线、三条角平分线都是()A.直线B.射线C.线段D.射线或线段2.如图所示,BD,AE分别是ABC的中线、角平分线,AC=10 cm,BAC=70,则AD=,BAE=.3.如图所示,在ABC中,AE是中线,AD是角平分线,填空:(1)BE=;(2)BAD=.4.如图所示,AD是ABC的BC边上的中线,DE是ADC的AC边
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