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专题03 函数的图像与性质1(2016课标全国乙)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()答案D解析f(2)8e282.820，排除A；f(2)8e282.720时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，当x时，f(x)4e00，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.2(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)等于()A2B1C0D2答案D3(2016上海)设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A和均为真命题B和均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题答案D解析不成立，可举反例，f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)f(xT)g(xT)，f(x)h(x)f(xT)h(xT)，g(x)h(x)g(xT)h(xT)，前两式作差，可得g(x)h(x)g(xT)h(xT)，结合第三式，可得g(x)g(xT)，h(x)h(xT)，也有f(x)f(xT)正确故选D.4(2016北京)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_答案(1)2(2)(，1) (2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图由(1)知，当a1时，f(x)取得最大值2.当a1时，y2x在xa时无最大值，且2a2.所以a1.5已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象只能是图中的()答案B6定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)等于()A1B.C1D答案C解析由f(x2)f(x2)f(x)f(x4)，因为4log2205，所以0log22041，14log2201，且x0令g(x)ln(x1)x，则g(x)1，当1x0；当x0时，g(x)0.f(x)在区间(1,0)内为减函数，在区间(0，)内为增函数，对照各选项，只有B符合方法二本题也可取特值，用排除法求解：f(2)0，排除A.f0时，h(x)若h(t)h(2)，则实数t的取值范围为_答案(2,0)(0,2)易错起源1、函数的性质及应用例1、(1)已知函数f(x)为奇函数，且在0,2上单调递增，若f(log2m)f(log4(m2)成立，则实数m的取值范围是()A.m2B.m2C2m4D2m4(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_答案(1)A(2)解析(1)因为函数f(x)是奇函数，且在0,2上单调递增，所以函数f(x)在2,2上单调递增故由f(log2m)f(log4(m2)，可得解2log2m2，得m4；解2log4(m2)2，得m216，即m14.由log2mlog4(m2)，得log4m2log4(m2)，故有解得1m2，且m0.综上可知，m的取值范围是m2，故选A.(2)由已知fffa，fff.又ff，则a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.【变式探究】(1)(2016四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_答案(1)2(2)10解析(1)因为f(x)是周期为2的函数，所以f(x)f(x2)而f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)所以f(1)f(1)，f(1)f(1)，即f(1)0，又fff，故f2，从而ff(1)2.【名师点睛】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)f(x2)的形式【锦囊妙计，战胜自我】1单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则2奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)(2)在公共定义域内：两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数(3)若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称3周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足f(ax)f(x)(a0)，则其一个周期T|a|.常见结论：(1)f(xa)f(x)函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a0)(2)f(xa)函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a0)(3)f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于x对称易错起源2、函数图象及应用例2、(1)函数y的图象大致为()(2)已知函数f(x)，g(x)a2x32ax2xa(aR)在同一直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象不可能的是()答案(1)A(2)B解析(1)首先根据函数表达式可知y为(，)上的奇函数，且f(0)0，排除C，D；当x时，显然排除B，故选A.(2)因为f(x)，所以f(x)ax2x，若a0，则选项D是正确的，故排除D.若a0，选项B中的二次函数的判别式14a12a2，又a0，所以a0，得x，令g(x)0，得x，所以函数g(x)a2x32ax2xa的极大值点为x，极小值点为x；由B中的图象知.但a，所以选项B的图象是错误的，故选B.【变式探究】(1)函数f(x)cosx (x且x0)的图象可能为()(2)已知三次函数f(x)2ax36ax2bx的导函数为f(x)，则函数f(x)与f(x)的图象可能是()答案(1)D(2)B【名师点睛】 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值【锦囊妙计，战胜自我】1作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点易错起源3、基本初等函数的图象和性质例3、(1)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50. 6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca(2)若函数若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案(1)C(2)C解析(1)根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.60.601，根据指数函数y1.5x在R上单调递增可得1.50.61.501，bac.(2)方法一由题意作出yf(x)的图象如图显然当a1或1af(a)故选C.方法二对a分类讨论：当a0时，a1.当a0时，0a1，1a0，故选C.【变式探究】(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()(2)已知函数yf(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x(，0)时，不等式f(x)xf(x)bcBcbaCcabDacb答案(1)D(2)C解析(1)方法一分a1,0a1时，yxa与ylogax均为增函数，但yxa递增较快，排除C；当0a1时，yxa为增函数，ylogax为减函数，排除A.由于yxa递增较慢，所以选D.方法二幂函数f(x)xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)logax的图象知0a1，而此时幂函数f(x)xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错(2)构造函数g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，当x(，0)时，g(x)0，所以函数yg(x)在(，0)上单调递减因为函数yf(x)的图象关于坐标原点对称，所以yf(x)是奇函数，由此可知函数yg(x)是偶函数根据偶函数的性质，可知函数yg(x)在(0，)上单调递增又ag(20.2)，bg(ln2)，cg(2)g(2)，由于ln220.2ab.【名师点睛】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性【锦囊妙计，战胜自我】1指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质2幂函数yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，1五种情况1下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()AyByxCy2xDyxex答案D解析令f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数，而A、B、C依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)()xDf(x)3x答案D3函数f(x)xcosx的大致图象是()答案B解析f(x)xcosx，f(x)xcosx，f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故函数f(x)是非奇非偶函数，排除A、C；当x时，xcosxx，即f(x)的图象与直线yx的交点中有一个点的横坐标为，排除D.故选B.4已知函数f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C.D.答案C解析要使函数f(x)的值域为R，需使所以所以1affBfffCfffDfff答案A解析函数yf(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，即函数关于x1对称所以ff，ff，当x1时，f(x)x1单调递减，所以由ff.即fff，故选A.6已知符号函数sgnxf(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则()Asgng(x)sgn xBsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)答案B解析因为a1，所以当x0时，xax，因为f(x)是R上的增函数，所以f(x)f(ax)，所以g(x)f(x)f(ax)0，sgng(x)1sgnx；同理可得当x0，sgng(x)1sgnx；当x0时，g(x)0，sgng(x)0sgnx也成立故B正确7设函数f(x)x|xa|，若对x1，x23，)，x1x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C(，3 D(0,3答案C8.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按AOBCADB的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y|O1P|2，y与x的函数关系为yf(x)，则yf(x)的大致图象是()答案A解析当x0，时，y1.当x(，2)时，设与的夹角为，|1，|2，所以x，所以y|2()254cos54cosx，x(，2)，所以函数yf(x)的图象是曲线，且单调递增，排除C，D.当x2，4)时，因为，设，的夹角为，|2，|1，所以2x，所以y|2()254cos54cosx，x2，4)，所以函数yf(x)的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.9给出下列四个函数：y2x；ylog2x；yx2；y.当0x1x2恒成立的函数的序号是_答案解析由题意知，满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为ylog2x，y.10已知f(x)在(，)上是增函数，那么实数a的取值范围是_答案解析由题意得解得a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，即a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)由(1)知，g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2或2，解得k2或k6.k的取值范围是(，26，)17
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