高考数学一模试卷 文（含解析）1

2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1设i为虚数单位，则复数3i的虚部是（）A3BiC1D12记集合A=x|x+20，B=y|y=sinx，xR，则AB=（）A（2，+）B1，1C1，12，+）D（2，13某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A圆柱B圆锥C棱锥D棱柱4已知向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，则，的值可以是（）A=，=B=，=C=，=D=，=5已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）Aan=（1）n1+1Ban=Can=2sinDan=cos（n1）+16已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）Af（2.5）Bf（f（2.5）Cf（f（1.5）Df（2）7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8函数的单调递增区间是（）ABCD9平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）Ay2=8xBx2=8yCy2=4xDx2=4y10非负实数x、y满足ln（x+y1）0，则关于xy的最大值和最小值分别为（）A2和1B2和1C1和1D2和211如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A0.7B0.75C0.8D0.912已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）AxR，f（x）g（x）Bx1，x2R，f（x1）g（x2）Cx0R，f（x0）=g（x0）Dx0R，使得xR，f（x0）g（x0）f（x）g（x）二、填空题13在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（1，1，2），则线段AB的长度为_14记等差数列an的前n项和为Sn，若S3=2a3，S5=15，则a2016=_15ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_16M，N分别为双曲线=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|的最小值为_三、解答题17如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记COP=，四边形OPCQ的面积为S（1）找出S与的函数关系；（2）试探求当取何值时，S最大，并求出这个最大值18空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率19如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2（1）求三棱锥AFGC的体积（2）求证：面GEF面AEF20已知椭圆C1： +=1（ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程21已知函数f（x）=x2+（a为实常数）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论选修4-1：几何证明选讲22如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=（1）若CDAB，证明：直线AC平分DAB；（2）作DEAB交AC于E，证明：CD2=AEAC选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为24cos+3=0，0，2（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标选修4-5：不等式选讲24设、均为实数（1）证明：|cos（+）|cos|+|sin|；|sin（+）|cos|+|cos|（2）若+=0证明：|cos|+|cos|+|cos|12016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1设i为虚数单位，则复数3i的虚部是（）A3BiC1D1【考点】复数的基本概念【分析】直接由复数的基本概念得答案【解答】解：复数3i，复数3i的虚部是：1故选：D2记集合A=x|x+20，B=y|y=sinx，xR，则AB=（）A（2，+）B1，1C1，12，+）D（2，1【考点】并集及其运算【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出【解答】解：集合A=x|x+20=（2，+），B=y|y=sinx，xR=1，1，则AB=（2，+），故选：A3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A圆柱B圆锥C棱锥D棱柱【考点】由三视图求面积、体积【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，该空间几何体不可能是圆锥故选：B4已知向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，则，的值可以是（）A=，=B=，=C=，=D=，=【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断【解答】解：向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，coscossinsin=0，即cos（+）=0，+=k+，kZ，对于A：+=0，不符合，对于B，+=，不符合，对于C：+=，符合，对于D，+=，不符合，故选：C5已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）Aan=（1）n1+1Ban=Can=2sinDan=cos（n1）+1【考点】数列的概念及简单表示法【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=2，因此不成立故选：C6已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）Af（2.5）Bf（f（2.5）Cf（f（1.5）Df（2）【考点】函数的值【分析】由f（x+1）=f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可【解答】解：由f（x+1）=f（x），得f（x+2）=f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=1，f（f（2.5）=f（1）=f（1+2）=f（1）=1f（f（1.5）=f（f（20.5）=f（f（0.5）=f（1）=1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：D7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论【解答】解：因为7.879K2=1010.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响故选：A8函数的单调递增区间是（）ABCD【考点】复合三角函数的单调性【分析】由2k+2k+（kZ）与x2，2即可求得答案【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2k+2k+（kZ）得：4kx4k+（kZ），x2，2，x即y=sin（+）的单调递增区间为，故选A9平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）Ay2=8xBx2=8yCy2=4xDx2=4y【考点】直线与圆的位置关系【分析】设动点P（x，y），由已知得|x+1|=1，由此能求出点P的轨迹方程【解答】解：设动点P（x，y），动点P到直线x=1的距离等于它到圆：（x2）2+y2=1的点的最小距离，|x+1|=1，化简得：6x2+2|x+1|=y2，当x1时，y2=8x，当x1时，y2=4x48，不合题意点P的轨迹方程为：y2=8x故选：A10非负实数x、y满足ln（x+y1）0，则关于xy的最大值和最小值分别为（）A2和1B2和1C1和1D2和2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=xy，由z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线y=xz经过点C（2，0）时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，最大为zmax=20=2当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=xz截距最大，z最小此时zmin=02=2故选：D11如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A0.7B0.75C0.8D0.9【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+=1=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9故选：A12已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）AxR，f（x）g（x）Bx1，x2R，f（x1）g（x2）Cx0R，f（x0）=g（x0）Dx0R，使得xR，f（x0）g（x0）f（x）g（x）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（x）=exx1，则h（x）=ex1，当x0时，h（x）0，h（x）单调递减，当x0时，h（x）0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）0，即xR，f（x）g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（1，1，2），则线段AB的长度为【考点】空间两点间的距离公式【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|=故答案为：14记等差数列an的前n项和为Sn，若S3=2a3，S5=15，则a2016=2016【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为dS3=2a3，S5=15，d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1则a2016=1+1=2016故答案为：201615ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R【解答】解：设ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），R=1故答案为：116M，N分别为双曲线=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|的最小值为4【考点】双曲线的简单性质【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可【解答】解：由向量数量积的定义知即向量在向量上的投影|模长的乘积，故求|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记COP=，四边形OPCQ的面积为S（1）找出S与的函数关系；（2）试探求当取何值时，S最大，并求出这个最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值【分析】（1）由面积公式即可得到S与的函数关系（2）对三角函数化简，由的范围，得到S的最大值【解答】解：（1）S=SOPC+SOQC=OP0CsinPOC+OQOCsinQOC=2sin+2sin（）（0，）（2）由（1）知，S=2sin+2sin（）=sin+cos=2sin（+）（0，），+（，）当+=，即=时，S最大，为218空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，A）（A，）（b，c）（b，d）（b，A）（b，）（c，d）（c，A）（c，）（d，A）（d，）（A，）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，A）（A，）（b，A）（b，）（c，A）（c，）（d，A）（d，）（A，）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P=19如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2（1）求三棱锥AFGC的体积（2）求证：面GEF面AEF【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由平面BDEF平面ABCD得FB平面ABCD，故FBAB，又ABBC，于是AB平面FBCG，即AB为棱锥AFCG的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可【解答】解：（1）平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCD=BD，FBBD，FB平面BDEF，FB平面ABCD，AB平面ABCD，ABFB，又ABBC，AB平面BCGF，VAFGC=（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（2，0，0），E（2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），=（0，2，2），=（2，2，0），=（0，2，1）设平面AEF的法向量为=（x，y，z），平面EFG的法向量为=（a，b，c），则，即，令z=1得=（1，1，1），令c=1得=（，1）=0，平面AEF平面EFG20已知椭圆C1： +=1（ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由ab，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程【解答】解：（1）由ab，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有=64t220（4t24）0，解得t，且t0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2=，以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OAOB，即有=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=，满足t，且t0，则直线l的方程为y=x21已知函数f（x）=x2+（a为实常数）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3a0在（0，+）上恒成立，即a2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1），（x2，f（x2），由假设可得f（x1）=f（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f（x）=2x=，由f（x）在（0，+）上单调递增，可得2x3a0在（0，+）上恒成立，即a2x3，由2x3在（0，+）上递增，可得2x3的值域为（0，+），则a0，即有a的取值范围为（，0；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1），（x2，f（x2），由假设可得f（x1）=f（x2）=，由f（x1）=f（x2），可得2x1=2x2，即有2（x1x2）=a，显然x1+x20，x1x20，即有a=，而f（x1）=2x1+=x1+x22x1+=x2x1+=0，即f（x1）=f（x2），故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点选修4-1：几何证明选讲22如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=（1）若CDAB，证明：直线AC平分DAB；（2）作DEAB交AC于E，证明：CD2=AEAC【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（1）证明：直线AC平分DAB，只要证明DAC=BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作DEAB交AC于E，证明：ADEACD，即可证明CD2=AEAC【解答】证明：（1）CDAB，DCA=BAC，=，DAC=DCA，DAC=BAC，直线AC平分DAB；（2）DEAB，ADE+DAB=90，AB为直径，DBA+DAB=90，ADE=ABD，ABD=DCA，ADE=ACD，ADEACD，AD2=AEAC，AD=DC，CD2=AEAC选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为24cos+3=0，0，2（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）把2=x2+y2，x=cos，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为因此C1的极坐标方程为：，或（0）分别代入C1的极坐标方程即可得出【解答】解：（1）把2=x2+y2，x=cos，代入曲线C1的极坐标方程24cos+3=0，0，2，可得：x2+y24x+3=0，配方为：（x2）2+y2=1（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为因此C1的极坐标方程为：，或（0）将代入C1可得：22+3=0，解得=将代入C1可得：2+2+3=0，解得=，舍去故C1与C2的公共点的极坐标为选修4-5：不等式选讲24设、均为实数（1）证明：|cos（+）|cos|+|sin|；|sin（+）|cos|+|cos|（2）若+=0证明：|cos|+|cos|+|cos|1【考点】绝对值三角不等式【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；（2）由（1）可得|cos+（+=|cos|+|sin（+）|cos|+|cos|+|cos|，即可证明结论【解答】证明：（1）|cos（+）|=|coscossinsin|coscos|+|sinsin|cos|+|sin|；|sin（+）|=|sincoscossin|sincos|+|cossin|cos|+|cos|（2）由（1）可得|cos+（+）|cos|+|sin（+）|cos|+|cos|+|cos|，+=0，|cos+=1|cos|+|cos|+|cos|1